Специальная теория относительности

Специа́льная тео́рия относи́тельности (СТО; также ча́стная тео́рия относи́тельности) — теория, описывающая движение, законы механики и пространственно-временные отношения при произвольных скоростях движения, меньших скорости света в вакууме, в том числе близких к скорости света (в рамках специальной теории относительности классическая механика Ньютона является приближением низких скоростей). Фактически СТО описывает геометрию четырёхмерного пространства-времени и основана на плоском (то есть ) (пространстве Минковского). Обобщение СТО для сильных гравитационных полей называется общей теорией относительности.

Основным отличием СТО от классической механики является зависимость (наблюдаемых) пространственных и временных характеристик от скорости. Описываемые специальной теорией относительности отклонения в протекании физических процессов от предсказаний классической механики называют релятивистскими эффектами, а скорости, при которых такие эффекты становятся существенными, — релятивистскими скоростями.

Центральное место в специальной теории относительности занимают преобразования Лоренца, позволяющие преобразовывать пространственно-временные координаты событий при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой, когда одна из них движется относительно другой с определенной скоростью.

Специальная теория относительности была создана Альбертом Эйнштейном в работе 1905 года «К электродинамике движущихся тел». Математический аппарат преобразований координат и времени между различными системами отсчёта (с целью сохранения (уравнений электромагнитного поля)) был ранее сформулирован французским математиком (А. Пуанкаре) (который и предложил их назвать «преобразованиями Лоренца»: сам Лоренц вывел до этого только приближённые формулы). А. Пуанкаре также первым показал, что эти преобразования можно геометрически представить как (опередив (Г. Минковского)), и показал, что преобразования Лоренца образуют группу (см. ).

Непосредственно термин «теория относительности» был предложен (М. Планком). В дальнейшем, после разработки А. Эйнштейном теории гравитации — общей теории относительности — к первоначальной теории начал применяться термин «специальная» или «частная» теория относительности (от нем. Spezielle Relativitätstheorie).

Создание СТО

Предпосылкой к созданию теории относительности явилось развитие в XIX веке электродинамики. Результатом обобщения и теоретического осмысления экспериментальных фактов и закономерностей в областях электричества и магнетизма стали (уравнения Максвелла), описывающие свойства электромагнитного поля и его взаимодействие с зарядами и токами. В электродинамике Максвелла скорость распространения электромагнитных волн в вакууме не зависит от скоростей движения как источника этих волн, так и наблюдателя, и равна скорости света. Таким образом, уравнения Максвелла оказались неинвариантными относительно (преобразований Галилея), что противоречило классической механике.

Специальная теория относительности была разработана в начале XX века усилиями Г. А. Лоренца, (А. Пуанкаре), А. Эйнштейна и других учёных (см. (История теории относительности)). Экспериментальной основой для создания СТО послужил (опыт Майкельсона). Результаты оказались неожиданными для классической физики того времени: скорость света не зависит от направления ((изотропность)) и орбитального движения Земли вокруг Солнца. Попытка интерпретировать полученные данные вылилась в пересмотр классических представлений и привела к созданию специальной теории относительности.

При движении со скоростями, всё более приближающимися к скорости света, отклонение от законов классической динамики становится всё более существенным. (Второй закон Ньютона), связывающий силу и ускорение, должен быть модифицирован в соответствии с принципами СТО. Также импульс и кинетическая энергия тела сложнее зависят от скорости, чем в нерелятивистском случае.

Специальная теория относительности получила многочисленные подтверждения на опыте и является верной теорией в своей области применимости (см. Экспериментальные основания СТО). По меткому замечанию Л. Пэйджа, «в наш век электричества вращающийся якорь каждого генератора и каждого электромотора неустанно провозглашает справедливость теории относительности — нужно лишь уметь слушать».

Основные понятия и постулаты СТО

Специальная теория относительности, как и любая другая (физическая теория), может быть сформулирована на базе из основных понятий и постулатов (аксиом) и правил соответствия её физическим объектам.

Основные понятия

Система отсчёта представляет собой некоторое материальное тело, выбираемое в качестве начала этой системы, способ определения положения объектов относительно начала системы отсчёта и способ измерения времени. Обычно различают системы отсчёта и системы координат. Добавление процедуры измерения времени к системе координат «превращает» её в систему отсчёта.

Инерциальная система отсчёта (ИСО) — такая система, относительно которой объект, не подверженный внешним воздействиям, движется равномерно и прямолинейно. Постулируется, что ИСО существуют, и любая система отсчёта, движущаяся относительно данной инерциальной системы равномерно и прямолинейно, также является ИСО.

Событием называется любой физический процесс, который может быть локализован в пространстве, и имеющий при этом очень малую длительность. Другими словами, событие полностью характеризуется (координатами) (x, y, z) и моментом времени t. Примерами событий являются: вспышка света, положение материальной точки в данный момент времени и т. п.

Обычно рассматриваются две инерциальные системы S и S'. Время и координаты некоторого события, измеренные в системе S, обозначаются как (t, x, y, z), а координаты и время этого же события, измеренные в системе S', как (t', x', y', z'). Удобно считать, что координатные оси систем параллельны друг другу, и система S' движется вдоль оси x системы S со скоростью v. Одной из задач СТО является поиск соотношений, связывающих (t', x', y', z') и (t, x, y, z), которые называются преобразованиями Лоренца.

Синхронизация времени

В СТО постулируется возможность определения единого времени в рамках данной инерциальной системы отсчёта процедурой синхронизации двух часов, находящихся в произвольных точках ИСО.

Пусть от первых часов в момент времени ${\displaystyle t_{1}}$ ко вторым посылается сигнал (не обязательно световой) с постоянной скоростью ${\displaystyle u}$. Сразу по достижении вторых часов сигнал отправляется обратно с той же постоянной скоростью ${\displaystyle u}$ и достигает первых часов в момент времени ${\displaystyle t_{2}}$. Часы считаются синхронизированными, если выполняется соотношение ${\displaystyle T=(t_{1}+t_{2})/2}$, где ${\displaystyle T}$— показание вторых часов в момент прихода к ним сигнала от первых часов.

Предполагается, что такая процедура в данной инерциальной системе отсчёта может быть проведена для любых двух часов, так что справедливо свойство (транзитивности): если часы A синхронизированы с часами B, а часы B синхронизированы с часами C, то часы A и C также окажутся синхронизированными.

В отличие от классической механики, единое время можно ввести только в рамках данной системы отсчёта. В СТО не предполагается, что время является общим для различных систем. В этом состоит основное отличие аксиоматики СТО от классической механики, в которой постулируется существование единого (абсолютного) времени для всех систем отсчёта.

Согласование единиц измерения

Чтобы измерения, выполненные в различных ИСО, можно было между собой сравнивать, необходимо провести согласование единиц измерения между системами отсчёта. Так, единицы длины могут быть согласованы при помощи сравнения эталонов длины в перпендикулярном направлении к относительному движению инерциальных систем отсчёта. Например, это может быть кратчайшее расстояние между траекториями двух частиц, движущихся параллельно осям x и x' и имеющих различные, но постоянные координаты (y, z) и (y',z'). Для согласования единиц измерения времени можно использовать идентично устроенные часы, например, атомные.

Постулаты СТО

В первую очередь в СТО, как и в классической механике, предполагается, что пространство и время (однородны), а пространство также изотропно. Если быть более точным (современный подход), инерциальные системы отсчёта собственно и определяются как такие системы отсчёта, в которых пространство однородно и изотропно, а время однородно. По сути существование таких систем отсчёта постулируется.

Постулат 1 (принцип относительности Эйнштейна). Законы природы одинаковы во всех системах координат, движущихся прямолинейно и равномерно друг относительно друга. Это означает, что форма зависимости физических законов от пространственно-временных координат должна быть одинаковой во всех ИСО, то есть законы инвариантны относительно переходов между ИСО. Принцип относительности устанавливает равноправие всех ИСО.

Учитывая (второй закон Ньютона) (или (уравнения Эйлера-Лагранжа) в (лагранжевой механике)), можно утверждать, что если скорость некоторого тела в данной ИСО постоянна (ускорение равно нулю), то она должна быть постоянна и во всех остальных ИСО. Иногда это и принимают за определение инерциальных систем отсчёта.

Формально, принцип относительности Эйнштейна распространяет классический принцип относительности (Галилея) с механических на все физические явления. Однако, если учесть, что во времена Галилея физика заключалась собственно в механике, то и классический принцип тоже можно было считать распространяющимся на все физические явления. В том числе он должен распространяться и на электромагнитные явления, описываемые уравнениями Максвелла, которые выведены из эмпирически выявленных закономерностей. Однако, согласно последним, скорость распространения света является определённой величиной, не зависящей от скорости источника (по крайней мере в одной системе отсчёта). Из принципа относительности следует, что она не должна зависеть от скорости источника во всех ИСО в силу их равноправности. А значит, она должна быть постоянной во всех ИСО. В этом заключается суть второго постулата:

Постулат 2 (принцип постоянства скорости света). Скорость света в вакууме одинакова во всех системах координат, движущихся прямолинейно и равномерно друг относительно друга.

Принцип постоянства скорости света противоречит классической механике, а конкретно — (закону сложения скоростей). При выводе последнего используется только принцип относительности Галилея и неявное допущение одинаковости времени во всех ИСО. Таким образом, из справедливости второго постулата следует, что время должно быть относительным — неодинаковым в разных ИСО. Необходимым образом отсюда следует и то, что «расстояния» также должны быть относительны. В самом деле, если свет проходит расстояние между двумя точками за некоторое время, а в другой системе — за другое время и притом с той же скоростью, то отсюда следует, что и расстояние в этой системе должно отличаться.

Световые сигналы не требуются при обосновании СТО. Хотя неинвариантность уравнений Максвелла относительно (преобразований Галилея) привела к построению СТО, последняя имеет более общий характер и применима ко всем видам взаимодействий и физических процессов. (Фундаментальная константа) ${\displaystyle c}$, возникающая в преобразованиях Лоренца, имеет смысл предельной скорости движения материальных тел. Численно она совпадает со скоростью света, однако этот факт, согласно современной квантовой теории поля (уравнения которой изначально строятся как релятивистски инвариантные) связан с безмассовостью электромагнитного поля (фотона). Даже если бы фотон имел отличную от нуля массу, преобразования Лоренца от этого бы не изменились. Поэтому имеет смысл различать фундаментальную константу — скорость ${\displaystyle c}$ и скорость света ${\displaystyle c_{em}}$. Первая константа отражает общие свойства пространства и времени, тогда как вторая связана со свойствами конкретного взаимодействия.

Также используется постулат причинности: любое событие может оказывать влияние только на события, происходящие позже него, и не может оказывать влияние на события, произошедшие раньше него. Из постулата причинности и независимости скорости света от выбора системы отсчёта следует, что скорость любого сигнала не может превышать скорость света.

Альтернативные аксиоматики

После построения Эйнштейном СТО на основе вышеуказанных постулатов многие исследователи пытались отказаться от второго постулата вообще. Спустя 5 лет после известной статьи Эйнштейна 1905 года, благодаря работам (Игнатовского), Ф.Франка и Г.Роте (см. исторический очерк) стал известен способ получения общего вида (с точностью до неопределённой константы) преобразований Лоренца без использования второго постулата. При «правильном» знаке неопределённого параметра эти преобразования совпадают с преобразованиями Лоренца. Из этого следует наличие максимальной скорости, одинаковой во всех ИСО. Тем не менее, знак этой константы из предложенных аксиом никак не следует. Предлагается оценивать значение параметра экспериментально. Чтобы измерить этот параметр, а значит, и фундаментальную скорость ${\displaystyle c}$, нет необходимости проводить электродинамические эксперименты. Можно, например, на основе измерений скорости одного и того же объекта в разных ИСО воспользоваться законом сложения скоростей с неопределённым параметром. Экспериментальное «вычисление» знака неопределённой константы фактически эквивалентно предположению о наличии максимальной скорости, то есть по существу второму постулату.

Тем не менее, попытки аксиоматизации, в том числе без второго постулата, предпринимались позднее и другими исследователями. Существуют также аксиоматики, которые не используют принцип относительности — а только принцип постоянства скорости света. Более подробно с ними можно ознакомиться в статье А. К. Гуца.

Преобразования Лоренца

Основная статья: Преобразования Лоренца

Пусть координатные оси двух инерциальных систем отсчёта ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle S'}$ параллельны друг другу, ${\displaystyle (t,x,y,z)}$ — время и координаты некоторого (события), наблюдаемого в системе отсчёта ${\displaystyle S}$, а ${\displaystyle (t',x',y',z')}$ — время и координаты того же события в системе ${\displaystyle S'}$.

Общий вид преобразований Лоренца в векторном виде, когда скорость систем отсчёта имеет произвольное направление:

${\displaystyle t'=\gamma \cdot \left(t-{\frac {\mathbf {r} \mathbf {v} }{c^{2}}}\right),~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathbf {r} '=\mathbf {r} -\gamma \mathbf {v} t+(\gamma -1)\,{\frac {(\mathbf {r} \mathbf {v} )\mathbf {v} }{v^{2}}}.}$

где ${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}}}$ — фактор Лоренца, ${\displaystyle \mathbf {r} }$ и ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ — радиус-векторы события в системе ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle S'}$.

Если сориентировать координатные оси по направлению относительного движения инерциальных систем (то есть в общие формулы подставить ${\displaystyle \mathbf {r} \mathbf {v} =||\mathbf {r} ||||\mathbf {v} ||=rv}$) и выбрать это направление в качестве оси ${\displaystyle x}$ (то есть так, чтобы система ${\displaystyle S'}$двигалась равномерно и прямолинейно со скоростью ${\displaystyle v}$ относительно ${\displaystyle S}$ вдоль оси ${\displaystyle x}$), то преобразования Лоренца примут следующий вид:

${\displaystyle t'={\frac {t-{\frac {\displaystyle v}{\displaystyle c^{2}}}\,x}{\sqrt {1-{\frac {\displaystyle v^{2}}{\displaystyle c^{2}}}}}},~~~~~~~~~~~x'={\frac {x-vt}{\sqrt {1-{\frac {\displaystyle v^{2}}{\displaystyle c^{2}}}}}},~~~~~~~~~~~y'=y,~~~~~~~~~~~z'=z,}$

где ${\displaystyle c}$ — скорость света. При скоростях много меньше скорости света (${\displaystyle v\ll c}$) преобразования Лоренца переходят в (преобразования Галилея):

${\displaystyle t'=t,~~~~~~~~~~~x'=x-vt,~~~~~~~~~~~y'=y,~~~~~~~~~~~z'=z.}$

Подобный предельный переход является отражением (принципа соответствия), согласно которому более общая теория (СТО) имеет своим предельным случаем менее общую теорию (в данном случае — классическую механику).

Вывод преобразований Лоренца

Существует множество способов вывода преобразований Лоренца. Рассмотрим один из вариантов.

Пусть начало координат системы ${\displaystyle S'}$ (в силу однородности пространства это может быть любая покоящаяся в этой системе точка) движется относительно системы ${\displaystyle S}$ со скоростью ${\displaystyle v}$. Соответственно, начало координат (покоящаяся точка) системы ${\displaystyle S}$ движется в ${\displaystyle S'}$ со скоростью ${\displaystyle -v}$. В целях упрощения изложения будем предполагать совпадение начал отсчёта обеих ИСО (${\displaystyle x'=x=0}$, когда ${\displaystyle t'=t=0}$) и одинаковой ориентированности координатных осей. Пусть скорость системы ${\displaystyle S'}$(${\displaystyle S}$) направлена по оси ${\displaystyle x}$ (против оси ${\displaystyle x'}$).

При относительном движении систем вдоль оси x можно считать, что ${\displaystyle y'=y,z'=z}$. Будем исследовать преобразования для одномерного пространства и рассматривать векторы двумерного пространства — времени ${\displaystyle z=(x,t)}$.

Линейность преобразований

В силу однородности пространства и времени, изотропности пространства и принципа относительности преобразования от одной ИСО к другой должны быть (линейными). Линейность преобразований можно также вывести, предполагая, что если два объекта имеют одинаковые скорости относительно одной ИСО, то их скорости будут равны и в любой другой ИСО, (при этом необходимо использовать также слабые предположения о дифференцируемости и взаимной однозначности функций преобразования). Если использовать только «определение» ИСО: если некоторое тело имеет постоянную скорость относительно одной инерциальной системы отсчёта, то его скорость будет постоянна и относительно любой другой ИСО, то можно показать только, что преобразования между двумя ИСО должны быть дробно-линейными функциями координат и времени с одинаковым знаменателем.

Таким образом, если ${\displaystyle \mathbf {x'} }$ — пространственно-временной вектор в системе ${\displaystyle S'}$, то будем предполагать, что ${\displaystyle \mathbf {x} =A\mathbf {x'} }$, где${\displaystyle A}$— матрица искомого линейного преобразования, зависящая только от относительной скорости рассматриваемых ИСО, то есть ${\displaystyle A=A(v)}$. Тогда линейное преобразование и закон сложения скоростей имеют следующий общий вид (структуру):

${\displaystyle A(v)=\gamma (v){\begin{pmatrix}1&v\\\beta (v)&1\\\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle u'+v=u(u'\beta (v)+1).}$

Доказательство

Рассмотрим движение точки из начала координат относительно системы ${\displaystyle S'}$ с постоянной скоростью ${\displaystyle u'}$ . Тогда для компонент столбцов ${\displaystyle \mathbf {x} =(ut,t)^{T},\mathbf {x'} =(u't',t')^{T}}$ и матрицы линейного преобразования ${\displaystyle A(v)={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{pmatrix}}}$ выполнены равенства:

${\displaystyle (a_{11}u'+a_{12})t'=ut,\qquad (a_{21}u'+a_{22})t'=t.}$

Подставив ${\displaystyle t}$ из второго равенства в первое, получим закон сложения скоростей в следующем виде:

${\displaystyle a_{11}u'+a_{12}=u(u'a_{21}+a_{22}).}$

По определению начало координат системы отсчёта ${\displaystyle S'}$ движется относительно системы ${\displaystyle S}$ со скоростью ${\displaystyle v}$, а значит, начало координат системы отсчёта ${\displaystyle S}$ движется относительно ${\displaystyle S'}$ со скоростью ${\displaystyle -v}$; если ${\displaystyle u'=0}$, то ${\displaystyle u=v}$, а если ${\displaystyle u=0}$, то ${\displaystyle u'=-v}$. Учитывая это, получим

${\displaystyle a_{12}=va_{22},~~a_{12}=va_{11}}$.

Обозначив ${\displaystyle \gamma =a_{11}=a_{22}}$, получим

${\displaystyle a_{12}=v\gamma }$.

Введём также обозначение ${\displaystyle \beta =a_{21}/\gamma }$. Отсюда получаем вид преобразования

${\displaystyle A(v)={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma &v\gamma \\\gamma \beta &\gamma \\\end{pmatrix}}=\gamma (v){\begin{pmatrix}1&v\\\beta (v)&1\\\end{pmatrix}}}$,

и закона сложения скоростей 

${\displaystyle a_{11}u'+a_{12}=u(u'a_{21}+a_{22}),}$

${\displaystyle \gamma u'+v\gamma =u(u'\beta \gamma +\gamma ),}$

${\displaystyle u'+v=u(u'\beta +1).}$

Отметим, что если дополнительно предположить ${\displaystyle t=t'}$, то можно сразу получить классический закон сложения скоростей и преобразования Галилея. Однако это предположение противоречит второму постулату.

Уже на этой стадии можно получить окончательный вид функции ${\displaystyle \beta (v)}$, используя второй постулат.

Другой способ состоит в рассмотрении свойств матрицы преобразования, которые следуют из принципа относительности и изотропности пространства. Эти свойства позволяют получить окончательный вид обеих функций ${\displaystyle \gamma (v)}$и ${\displaystyle \beta (v)}$. Далее приводится этот способ.

Свойства матрицы преобразования

Очевидно, если ${\displaystyle \mathbf {x} =A\mathbf {x'} }$, то ${\displaystyle \mathbf {x'} =A^{-1}\mathbf {x} }$. Поскольку преобразования должны быть одинаковыми для всех ИСО (принцип относительности), то ${\displaystyle A^{-1}(v)=A(-v)}$, так как если система ${\displaystyle S'}$ движется относительно ${\displaystyle S}$ со скоростью ${\displaystyle v}$, то это означает, что система ${\displaystyle S}$ движется относительно ${\displaystyle S'}$ со скоростью ${\displaystyle -v}$. Таким образом

${\displaystyle A(v)A(-v)=I.}$

Подставив в это соотношение общий вид искомой матрицы ${\displaystyle A}$, получим

${\displaystyle \gamma (v)\gamma (-v)={\frac {1}{1-v\beta (v)}},}$

где ${\displaystyle \beta (v)}$ — нечётная функция.

Доказательство

В самом деле:

${\displaystyle A(v)A(-v)=\gamma (v)\gamma (-v){\begin{pmatrix}1&v\\\beta (v)&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-v\\\beta (-v)&1\\\end{pmatrix}}=\gamma (v)\gamma (-v){\begin{pmatrix}1+v\beta (-v)&-v+v\\\beta (v)+\beta (-v)&1-v\beta (v)\\\end{pmatrix}}.}$

Поскольку левая часть есть единичная матрица, то из этого следует, что ${\displaystyle \beta (-v)=-\beta (v)}$ (нечётность) и ${\displaystyle \gamma (v)\gamma (-v)(1-v\beta (v))=1}$. Следовательно

${\displaystyle \gamma (v)\gamma (-v)={\frac {1}{1-v\beta (v)}}.}$

В силу изотропности пространства, смена координатных осей в противоположную сторону не должна влиять на вид зависимости между координатами в разных системах.

Выбрав произвольный вектор ${\displaystyle (x',0)}$, в другой системе отсчёта получим ${\displaystyle x=\gamma (v)x'}$. Поменяв координатную ось ${\displaystyle x}$ на противоположную в обеих системах, получим ${\displaystyle -x=\gamma (-v)(-x')}$. В силу изотропности пространства, изменение направления не изменяет зависимость между координатами. Поэтому ${\displaystyle \gamma (v)=\gamma (-v)}$ — чётная функция. Следовательно, ${\displaystyle \gamma ^{2}(v)=1/(1-v\beta (v))}$. Поскольку при ${\displaystyle v=0}$ преобразование ${\displaystyle x=\gamma (v)x'}$должно быть тождественным${\displaystyle (x'=Ix)}$, то ${\displaystyle \gamma (0)=1}$. В силу чётности вещественная функция ${\displaystyle \gamma (v)}$неотрицательна в окрестности точки ${\displaystyle v=0}$ (границы окрестности определяются из равенства ${\displaystyle (1-v\beta (v))=0}$). Следовательно, при взятии квадратного корня необходимо использовать только положительный знак: ${\displaystyle \gamma (v)=1/{\sqrt {1-v\beta (v)}}}$.

Тем самым остаётся только уточнить функцию ${\displaystyle \beta (v)}$. Это можно сделать сразу, воспользовавшись вторым постулатом. Однако из принципа относительности следует, что эта функция должна иметь вид ${\displaystyle \beta (v)=\alpha v}$, где ${\displaystyle \alpha }$ — параметр, не зависящий от ${\displaystyle v}$.

Доказательство

В самом деле, из принципа относительности следует, что преобразование координат от системы ${\displaystyle S_{1}}$ к системе ${\displaystyle S_{2}}$, а затем к ${\displaystyle S_{3}}$ эквивалентно преобразованию от ${\displaystyle S_{1}}$ непосредственно к ${\displaystyle S_{3}}$, причем законы преобразования одинаковы и зависят только от относительных скоростей этих систем. То есть

${\displaystyle A(v_{3})=A(v_{1})A(v_{2}).}$

Подставим в это выражение полученный вид матрицы A:

${\displaystyle A(v_{3})=\gamma (v_{3}){\begin{pmatrix}1&v_{3}\\\beta (v_{3})&1\\\end{pmatrix}}=\gamma (v_{1})\gamma (v_{2}){\begin{pmatrix}1&v_{1}\\\beta (v_{1})&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&v_{2}\\\beta (v_{2})&1\\\end{pmatrix}}=\gamma (v_{1})\gamma (v_{2}){\begin{pmatrix}1+v_{1}\beta (v_{2})&v_{1}+v_{2}\\\beta (v_{1})+\beta (v_{2})&1+v_{2}\beta (v_{1})\\\end{pmatrix}}.}$

Учитывая, что в первой матрице диагональные элементы одинаковы, то они должны быть одинаковы и в последней матрице, откуда следует, что ${\displaystyle 1+v_{1}\beta (v_{2})=1+v_{2}\beta (v_{1})}$. Следовательно,

${\displaystyle \beta (v_{1})/v_{1}=\beta (v_{2})/v_{2}}$

для произвольных скоростей ${\displaystyle v_{1}}$ и ${\displaystyle v_{2}}$. Это означает, что ${\displaystyle \beta (v)/v=\alpha =const}$ — постоянная величина, не зависящая от скорости ${\displaystyle v}$.

Следовательно, матрица преобразования и закон сложения скоростей имеют следующий вид (с точностью до неопределённого параметра ${\displaystyle \alpha }$):

${\displaystyle A(v)=\gamma (v){\begin{pmatrix}1&v\\\alpha v&1\\\end{pmatrix}},}$ ${\displaystyle \gamma (v)={\frac {1}{\sqrt {1-\alpha v^{2}}}}}$ и закон сложения скоростей ${\displaystyle u={\frac {u'+v}{1+\alpha u'v}}.}$

Численное значение параметра ${\displaystyle \alpha }$ и её знак невозможно вывести из вышеуказанных предположений. Для этого необходимо либо дополнительное предположение (из которого будет следовать знак ${\displaystyle \alpha }$), либо обращение к эксперименту (последнее необходимо в любом случае для установления конкретного значения ${\displaystyle \alpha }$). Если ${\displaystyle \alpha =0}$, то получим классические преобразования Галилея; если ${\displaystyle \alpha >0}$, то получаем искомые преобразования Лоренца (введя обозначение ${\displaystyle \alpha =1/c^{2}}$). Из дальнейшего будет ясно, что в этом случае константа ${\displaystyle c}$ имеет смысл максимальной скорости движения любого объекта.

Использование второго постулата

Из второго постулата и закона сложения скоростей следует, что ${\displaystyle \alpha =1/c^{2}}$и если ${\displaystyle u'=c}$, то ${\displaystyle u=c}$.

Доказательство

Согласно второму постулату если ${\displaystyle u'=\pm c}$, то ${\displaystyle u=c}$. Поэтому из закона сложения скоростей следует, что ${\displaystyle c={\frac {c+v}{1+\alpha cv}}}$, следовательно:

${\displaystyle c+\alpha c^{2}v=c+v}$

Откуда, ${\displaystyle \alpha =1/c^{2}}$.

Подставляя значения ${\displaystyle u'=c,u=-c}$, получим

${\displaystyle \alpha ={\frac {v-2c}{c^{2}v}}}$,

то есть ${\displaystyle \alpha }$ зависит от скорости ${\displaystyle v}$, что противоречит доказанной в предыдущем пункте независимости параметра от скорости.

Следовательно, если свет распространяется в направлении оси ${\displaystyle x'}$ относительно системы отсчёта ${\displaystyle K'}$, движущейся относительно системы ${\displaystyle K}$ по оси ${\displaystyle x}$, то и относительно системы отсчёта ${\displaystyle K}$ по оси ${\displaystyle x}$ свет распространяется в том же направлении.

Таким образом, окончательно получаем матрицу преобразования координатно-временного вектора ${\displaystyle (x',t')^{T}}$ и формулу преобразования скорости ${\displaystyle u'}$ (закон сложения скоростей) при переходе от системы отсчёта ${\displaystyle S'}$к системе ${\displaystyle S}$:

${\displaystyle A(v)={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}{\begin{pmatrix}1&v\\v/c^{2}&1\\\end{pmatrix}}}$, ${\displaystyle u={\frac {u'+v}{1+u'v/c^{2}}}.}$

Для получения обратных преобразований (от ${\displaystyle S}$ к ${\displaystyle S'}$) достаточно вместо скорости ${\displaystyle v}$ подставить ${\displaystyle -v}$ и поменять местами ${\displaystyle u'}$ и ${\displaystyle u}$.

Интервал

(Интервалом) между произвольными событиями называется квадратный корень следующей величины:

${\displaystyle \Delta s^{2}=c^{2}\Delta t_{}^{2}-\Delta x^{2}-\Delta y^{2}-\Delta z^{2},}$

где ${\displaystyle \Delta t=t_{2}-t_{1},~\Delta x=x_{2}-x_{1},~\Delta y=y_{2}-y_{1},~\Delta z=z_{2}-z_{1}}$ — являются разностями времён и координат двух событий.

Непосредственной подстановкой преобразований Лоренца можно убедиться, что интервал оказывается одинаковым во всех ИСО. Этот факт, однако, можно показать и без использования полученных преобразований Лоренца, а используя только постулаты СТО (включая однородность и изотропность пространства и однородность времени).

Доказательство

Если интервал между событиями равен нулю в одной ИСО, то это означает, что период времени ${\displaystyle \Delta t}$ — это время (в данной ИСО) прохождения световым сигналом пути ${\displaystyle l}$ между пространственными координатами данных точек. В другой ИСО он проходит путь между этими точками (длина этого пути равна ${\displaystyle l'}$) за некоторый другой период времени ${\displaystyle \Delta t'}$, поэтому скорость, умноженная на ${\displaystyle \Delta t',}$ также должна быть равна ${\displaystyle l'}$. Однако согласно второму постулату скорость светового сигнала одинакова во всех ИСО, поэтому и во второй ИСО интервал будет равен нулю. Таким образом, непосредственно из второго постулата следует утверждение:

если ${\displaystyle {\Delta s}^{2}=c^{2}{\Delta t}^{2}-{\Delta x}^{2}-{\Delta y}^{2}-{\Delta z}^{2}=0,}$ то и в любой другой ИСО ${\displaystyle \Delta s'^{2}=c^{2}{\Delta t'}^{2}-{\Delta x'}^{2}-{\Delta y'}^{2}-{\Delta z'}^{2}=0.}$

Для бесконечно близких событий имеем ${\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dl^{2}}$ и ${\displaystyle ds'^{2}=c^{2}dt'^{2}-dl'^{2}.}$ Пусть ${\displaystyle ds'^{2}=ads^{2}.}$ В частности, если ${\displaystyle ds=0,}$ то и ${\displaystyle ds'=0.}$ В силу однородности пространства и времени ${\displaystyle a}$ не может зависеть от пространственно-временных координат, а может зависеть только от относительной скорости систем отсчёта. Она не должна также зависеть от направления относительного движения в силу изотропности пространства. В силу принципа относительности функция зависимости от относительной скорости должна быть универсальной, то есть одинаковой для всех ИСО. Рассмотрим три системы отсчёта ${\displaystyle S,S_{1},S_{2},}$, где векторы скорости движения ${\displaystyle S_{1}}$ и ${\displaystyle S_{2}}$ в системе ${\displaystyle S}$ равны ${\displaystyle \mathbf {v_{1}} }$ и ${\displaystyle \mathbf {v_{2}} .}$ Рассмотрим некоторый интервал в этих трёх системах отсчёта:

${\displaystyle ds^{2}=a(v_{1})ds_{1}^{2},ds^{2}=a(v_{2})ds_{2}^{2},ds_{1}^{2}=a(v_{12})ds_{2}^{2}.}$

Отсюда ${\displaystyle a(v_{12})=a(v_{2})/a(v_{1}).}$ Однако ${\displaystyle v_{12}}$ зависит не только ${\displaystyle v_{1}}$ и ${\displaystyle v_{2},}$ но и от направления этих векторов, поэтому это соотношение возможно, только если функция ${\displaystyle a(v)}$ от ${\displaystyle v}$ вообще не зависит, то есть является некоторой константой. Из этого же соотношения следует, что a = 1. Это означает, что всегда выполнено соотношение

${\displaystyle ds'^{2}=ds^{2}.}$

Отсюда следует, что ${\displaystyle s'=s}$ — значение интервала во всех ИСО одинаково, то есть интервал является инвариантом при переходе от одной ИСО к другой.

Если ${\displaystyle \Delta s^{2}>0,}$, то говорят, что события разделены времениподобным интервалом; если ${\displaystyle \Delta s^{2}<0}$, то пространственноподобным интервалом. Наконец, если ${\displaystyle \Delta s^{2}=0,}$ то такие интервалы называются светоподобными.

Инвариантность интервала означает, что он имеет одинаковое значение в любых инерциальных системах отсчёта: ${\displaystyle \Delta s^{2}=\Delta s'^{2}.}$

Про события, интервал между которыми времениподобен или светоподобен, всегда можно сказать, что одно событие произошло до другого (то есть эти события можно упорядочить во времени, и их последовательность будет одинаковой в любой ИСО). Эти события могут быть связаны причинно-следственными связями.

В событиях, интервал между которыми пространственноподобен, нет определённой последовательности: если в одной системе отсчёта два события произошли в моменты времени ${\displaystyle t_{1}<t_{2},}$ то можно найти другую инерциальную систему отсчёта (двигающуюся относительно первой с определённой скоростью ${\displaystyle v}$), в которой события произошли в моменты времени в другом порядке: ${\displaystyle t_{1}'>t_{2}'.}$ Такие события не могут быть связаны причинно-следственными связями.

Светоподобный интервал соответствует событиям, которые могут быть связаны сигналом, распространяющимся со скоростью света. Уравнение для светоподобного интервала ${\displaystyle \Delta s^{2}=0,}$ записанное в виде ${\displaystyle \Delta s^{2}=c^{2}\Delta t_{}^{2}-\Delta x^{2}-\Delta y^{2}-\Delta z^{2},}$ задаёт конус, называемый (световым конусом) данного события; на световом конусе находятся все точки в прошлом и будущем, которые можно связать световым сигналом с данным событием.

Перечисленные свойства можно вывести из преобразований Лоренца, если записать их в виде:

${\displaystyle (t_{2}'-t'_{1})={\frac {(t_{2}-t_{1})-{\frac {v}{c^{2}}}(x_{2}-x_{1})}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

Знак интервала, вообще говоря, можно выбрать произвольно. В первоначальной версии интервал записывался с обратным знаком (то есть пространственные координаты со знаком «+», а временная — «−»). В современной литературе чаще используют вышеприведённую формулу.

Сами преобразования Лоренца можно получить из их линейности и требования инвариантности интервала.

Доказательство

Рассмотрим для простоты также случай одномерного пространства. Инвариантность интервала означает, что ${\displaystyle x^{2}-(ct)^{2}=x'^{2}-(ct')^{2}.}$ Подставим в это выражение линейные преобразования:

${\displaystyle x=a_{11}x'+a_{12}ct',}$

${\displaystyle ct=a_{21}x'+a_{22}ct'.}$

Получим

${\displaystyle x^{2}-(ct)^{2}=(a_{11}x'+a_{12}ct')^{2}-(a_{21}x'+a_{22}ct')^{2}=(a_{11}^{2}-a_{21}^{2})x'^{2}-(a_{22}^{2}-a_{12}^{2})(ct')^{2}+2(a_{11}a_{12}-a_{21}a_{22})x'ct'=x'^{2}-(ct')^{2}.}$

Поскольку ${\displaystyle x'}$ и ${\displaystyle ct'}$ произвольны, то коэффициенты левой и правой частей должны быть тождественно равны. Следовательно,

${\displaystyle a_{11}^{2}-a_{21}^{2}=1,a_{22}^{2}-a_{12}^{2}=1,a_{11}a_{12}-a_{21}a_{22}=0.}$

Из последнего равенства следует, что ${\displaystyle a_{22}/a_{11}=a_{12}/a_{21}.}$ Обозначим указанное отношение ${\displaystyle \alpha .}$ Кроме этого, обозначим ${\displaystyle a_{11}=\gamma ,\,a_{21}=b.}$ Тогда ${\displaystyle a_{22}=\alpha \gamma ,\,a_{12}=\alpha b,}$ и первые два соотношения можно записать как

${\displaystyle \gamma ^{2}-b^{2}=1,\alpha ^{2}\gamma ^{2}-\alpha ^{2}b^{2}=1.}$

Отсюда следует, что, во-первых, ${\displaystyle \alpha ^{2}=1,}$ во-вторых, ${\displaystyle \gamma ^{2}-b^{2}=1,}$ откуда можно записать ${\displaystyle \gamma ^{2}=1/(1-b^{2}/\gamma ^{2}).}$ Наконец, введя для удобства обозначение ${\displaystyle \beta =b/\gamma ,}$ получим:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}\gamma &\pm \gamma \beta \\\gamma \beta &\pm \gamma \\\end{pmatrix}}=\gamma {\begin{pmatrix}1&\pm \beta \\\beta &\pm 1\\\end{pmatrix}},\,\gamma =\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}},}$

причём знаки в матрице либо положительные, либо отрицательные одновременно. Знак в формуле для ${\displaystyle \gamma }$ необходимо выбрать положительный, поскольку при нулевой относительной скорости систем матрица A должна быть единичной (системы в этом случае идентичны и преобразования тождественные). Но если бы коэффициент в γ был бы отрицательным, это было бы невозможно (верхний диагональный элемент был бы равен −1, а должен быть равен +1). Поэтому однозначно можно утверждать, что ${\displaystyle \gamma }$ — положительное число.

Что касается знаков внутри матрицы и собственно значения ${\displaystyle \beta ,}$ то их можно установить, если взять начало координат системы ${\displaystyle S'}$ — вектор ${\displaystyle (0,ct')}$ — и преобразовать его к системе ${\displaystyle S}$ и использовать соглашение о скорости движения ${\displaystyle v}$:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}vt\\ct\\\end{pmatrix}}=\gamma {\begin{pmatrix}1&\pm \beta \\\beta &\pm 1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\ct'\\\end{pmatrix}}=\pm \gamma {\begin{pmatrix}\beta ct'\\ct'\\\end{pmatrix}}.}$

Разделив первое уравнение этой системы на второе, получим ${\displaystyle \beta =v/c.}$ Что касается знака, то ввиду положительности времени из второго уравнения следует, что знак должен быть положительным. Таким образом, окончательно имеем:

${\displaystyle A=\gamma {\begin{pmatrix}1&v/c\\v/c&1\\\end{pmatrix}},\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}.}$

Геометрический подход

Четырёхмерное пространство-время

(Световой конус)

По своей форме интервал (особенно в первоначальной записи) напоминает расстояние в евклидовом пространстве, однако он имеет различный знак у пространственных и временных составляющих события. Следуя (Минковскому) и более ранней работе Пуанкаре, можно постулировать существование единого метрического четырёхмерного пространства-времени с 4-координатами ${\displaystyle (ct,x,y,z)}$. В простейшем случае плоского пространства метрика, определяющая расстояние между двумя бесконечно близкими точками, может быть евклидовой или (псевдоевклидовой). Последний случай соответствует специальной теории относительности. Говорят, что интервал задаёт расстояние в (псевдоевклидовом) четырёхмерном пространстве-времени. Его также называют (пространством-временем Минковского).

Наиболее «простой» способ понимания и вывода преобразований Лоренца при таком подходе может быть получен, если записать интервал (с обратным знаком), используя «мнимую» координату времени ${\displaystyle ict}$:

${\displaystyle \Delta s^{2}=\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}-c^{2}\Delta t^{2}=\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}+\Delta (ict)^{2},}$

Тогда интервал выглядит как обычное евклидово расстояние между точками в четырёхмерном пространстве. Как было показано, интервал должен сохраняться при переходе между ИСО, следовательно, это могут быть либо параллельные переносы и инверсии (что не интересно), либо повороты в этом пространстве. Преобразования Лоренца играют роль поворотов в таком пространстве. Вращения базиса в четырёхмерном пространстве-времени, смешивающие временную и пространственные координаты 4-векторов, выглядят как переход в движущуюся систему отсчёта и похожи на вращения в обычном трёхмерном пространстве. При этом естественно изменяются проекции четырёхмерных интервалов между определёнными событиями на временную и пространственные оси системы отсчёта, что и порождает релятивистские эффекты изменения временных и пространственных интервалов. Именно инвариантная структура этого пространства, задаваемая постулатами СТО, не меняется при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой. Используя только две пространственные координаты (x, y), четырёхмерное пространство можно изобразить в координатах (t, x, y). События, связанные с событием начала координат (t=0, x=y=0) световым сигналом (светоподобный интервал), лежат на так называемом (световом конусе) (см. рисунок справа).

В первоначальной версии Минковского (с мнимым временем) формулы преобразований Лоренца выводятся довольно просто — они следуют из известных формул поворотов в евклидовом пространстве.

Вывод

Для этого достаточно понять, что тангенс угла между лучом, исходящим из начала координат (изображающий равномерное и прямолинейное движение), и осью ${\displaystyle ict}$ равен:

${\displaystyle \mathbf {tg} \phi =v/ic=-iv/c.}$

Уже из этого можно вывести закон сложения скоростей, используя формулу тангенса суммы углов (тангенс угла между двумя лучами, выражающими движения с некоторыми скоростями в данной системе, и выражает их относительную скорость движения). Если угол между системами равен ${\displaystyle \psi }$, а угол между лучом движущегося тела и лучом системы ${\displaystyle S'}$ равен ${\displaystyle \phi '}$, тогда для скорости тела u относительно системы S имеем:

${\displaystyle u/ic=\mathbf {tg} \phi =\mathbf {tg} (\phi '+\psi )={\frac {\mathbf {tg} \phi '+\mathbf {tg} \psi }{1-\mathbf {tg} \phi '\mathbf {tg} \psi }}={\frac {u'/ic+v/ic}{1+u'v/c^{2}}}.}$

Сократив ${\displaystyle ic}$, получим закон сложения скоростей (заметим, что без i - в знаменателе получился бы "-").

Также несложно вывести выражения для косинуса и синуса угла:

${\displaystyle \cos \phi =1/{\sqrt {1+tg^{2}\phi }}=1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}=\gamma (v),}$

${\displaystyle \sin \phi =tg\phi \cos \phi =-iv/c\gamma .}$

Учитывая общую формулу поворотов в плоскости ${\displaystyle (x,ict)}$ в евклидовом пространстве, получим:

${\displaystyle x=x'\cos \phi +ict'\sin \phi =\gamma (x'+vt'),}$

${\displaystyle ict=ict'\cos \phi -x'\sin \phi =\gamma (ict'+ivx'/c).}$

Разделив последнее на ${\displaystyle ic}$, получим

${\displaystyle t=\gamma (t'+vx'/c^{2}).}$

Однако современный подход заключается во введении четырёхмерного пространства-времени (с вещественной осью времени ${\displaystyle ct}$) с (псевдометрикой). В таком пространстве формулы поворотов имеют аналогичный вид, однако вместо тригонометрических функций нужно использовать гиперболические.

Вывод

В таком пространстве ${\displaystyle th\phi =v/c}$. Закон сложения скоростей:

${\displaystyle u/c=th\phi =th(\phi '+\psi )={\frac {th\phi '+th\psi }{1+th\phi 'th\psi }}={\frac {u'/c+v/c}{1+vu'/c^{2}}}.}$

Сократив скорость света, получим искомый закон сложения скоростей.

Повороты в этом пространстве в плоскости ${\displaystyle (x,ct)}$ описываются следующим образом

${\displaystyle x=x'ch\phi +ct'sh\phi ,}$

${\displaystyle ct=ct'ch\phi +x'sh\phi .}$

Учитывая, что ${\displaystyle ch\phi ={\frac {1}{\sqrt {1-th^{2}\phi }}}={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}=\gamma (v)}$ и ${\displaystyle sh\phi =th\phi ch\phi =\gamma (v)v/c}$, получим искомые преобразования Лоренца.

Геометрический подход Минковского и Пуанкаре был развит в 1914 году А. Роббом, который положил в основу аксиоматического построения СТО понятие о следовании событий. Данный подход был в дальнейшем развит А. Д. Александровым в работах 50-х—70-х годов. Базовая аксиоматика предполагает, что пространство-время является, во-первых, четырёхмерным связным (односвязным) (локально-компактным) хаусдорфовым топологическим пространством с определённой на нём группой параллельных переносов (формально — транзитивной коммутативной группой гомеоморфизмов пространства на себя). Это означает, что оно является аффинным пространством с этой группой переносов. Во-вторых — и это самый принципиальный момент — каждой точке пространства-времени сопоставлены подмножества (содержащие, кроме этой точки, также и другие) так называемые «области воздействия» (или следования, последующих событий) точки — такие, что для любой другой точки области воздействия её область воздействия входит в область воздействия данной точки. Данное предположение вводит отношение частичного порядка в пространстве времени — отношение следования или причинности. Данное отношение позволяет ввести понятие ограниченного множества (в смысле этого отношения порядка). Формально-математическим аналогом второго постулата СТО (ограниченности скорости передачи воздействия) в данном случае будет предположение об ограниченности пересечения «последующего» множества данной точки и «предшествующего» множества любой «последующей» точки. Эти предположения являются базовыми. Тем не менее, этих предположений оказывается недостаточно для получения преобразований Лоренца. Приходится делать дополнительные предположения о существовании группы взаимно-однозначных отображений, обладающих определёнными свойствами по отношению к «областям воздействия». Вместе с этими дополнительными аксиомами указанная группа отображений фактически является группой Лоренца и тем самым могут быть введены декартовы координаты, псевдометрика и собственно явный вид преобразований Лоренца.

Геометрическая интерпретация пространства-времени позволяет формулировать СТО в ковариантной форме (см. ниже) на основе тензорного анализа. Именно геометрическая интерпретация является основой для обобщения теории относительности (общая теория относительности).

Пространство скоростей

Возможен ещё один подход, в котором постулируется геометрическая структура пространства скоростей. Каждая точка такого пространства соответствует некоторой инерциальной системе отсчёта, а расстояние между двумя точками — модулю относительной скорости между ИСО. В силу (принципа относительности) все точки такого пространства должны быть равноправными, а, следовательно, пространство скоростей является (однородным) и (изотропным). Если его свойства задаются римановой геометрией, то существует три и только три возможности: плоское пространство, пространство постоянной положительной и отрицательной кривизны. Первый случай соответствует классическому правилу сложения скоростей. Пространство постоянной отрицательной кривизны (пространство Лобачевского) соответствует релятивистскому правилу сложения скоростей и специальной теории относительности.

Групповой подход

Преобразования от одной системы отсчёта к другой можно построить на аксиоматической основе, без уточнения структуры пространства-времени. Для этого вводят понятие множества «событий» ${\displaystyle M}$. Инерциальные системы отсчёта представляют собой некоторые отображения ${\displaystyle S}$ (взаимно-однозначные) «событий» в ${\displaystyle R^{4}}$ — в четырёхмерное (арифметическое пространство). Первые три числа — пространственные компоненты, последняя — время. Среди подмножеств ${\displaystyle M}$ выделяются инерциальные движения ${\displaystyle I}$, которые определяются как подмножества, которые отображаются (при отображении ${\displaystyle S}$) в векторы, пространственные компоненты которого связаны с временной следующим образом ${\displaystyle x_{i}=a_{i}+v_{i}t}$, где коэффициенты — константы. В частности, если все ${\displaystyle v_{i}=0}$, то имеем покоящееся «инерциальное движение» (покоящееся тело). Собственно сами преобразования от системы ${\displaystyle S'}$ к ${\displaystyle S}$ представляют собой композицию ${\displaystyle P=SS'^{-1}}$.

Далее необходимо формализовать понятие движения одной ИСО относительно другой. Говорят, что ${\displaystyle S'}$ покоится относительно S, если «покоящееся тело» в ${\displaystyle S'}$ также покоится и в ${\displaystyle S}$. В противном случае говорят, что ${\displaystyle S'}$ движется относительно ${\displaystyle S}$. В первую очередь предполагается, что существуют ИСО, движущиеся относительно друг друга (аксиома 1).

Далее определим линейное преобразование ${\displaystyle \phi }$ в ${\displaystyle R^{4}}$, пространственная часть матрицы которой представляет собой ортог