Функтор — особый тип отображений между категориями. Его можно понимать как отображение, сохраняющее структуру. Функторы между (малыми категориями) являются морфизмами в категории малых категорий. Совокупность всех категорий не является категорией в обычном смысле, так как совокупность её объектов не является классом. Один из способов преодолеть подобные теоретико-множественные трудности — добавление в ZFC независимой от неё аксиомы о существовании [англ.].
Впервые функторы начали рассматривать в алгебраической топологии, в которой топологическим пространствам сопоставляются алгебраические объекты (например, фундаментальная группа), а непрерывным отображениям — гомоморфизмы между этими объектами. Впоследствии функторы получили распространение во многих областях математики и используются для того, чтобы связывать между собой различные категории.
Термин «функтор» был позаимствован математиками из работ философа Рудольфа Карнапа, при этом у Карнапа слово «функтор» относилось к лингвистическому понятию.
Определение
![image](https://www.wikidata.ru-ru.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEucnUtcnUubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODBMelJsTDBaMWJtTjBiM0l1YzNabkx6SXlNSEI0TFVaMWJtTjBiM0l1YzNabkxuQnVadz09LnBuZw==.png)
(Ковариантный) функтор из категории
в категорию
— это отображение, которое:
- сопоставляет каждому объекту
объект
- сопоставляет каждому морфизму
в категории
морфизм
в категории
. Это сопоставление должно обладать следующими свойствами:
,
.
Таким образом, функтор должен сохранять тождественные морфизмы и структуру композиции морфизмов.
Аналогичным образом, контравариантный функтор — это отображение, обращающее стрелки (то есть сопоставляющее морфизму морфизм
), сохраняющее тождественные морфизмы и удовлетворяющее равенству:
.
Также контравариантный функтор можно определить как ковариантный функтор из двойственной категории . Некоторые авторы предпочитают записывать все выражения ковариантно, и вместо слов «контравариантный функтор из
в
» говорят «функтор из
в
» (или, иногда, «функтор из
в
»).
Бифункторы и мультифункторы
Бифунктор — это функтор от двух аргументов. Естественный пример — функтор Hom, он ковариантен по одному аргументу и контравариантен по другому.
Формально бифункторы определяются как функторы из (категории произведения). Например, функтор имеет вид
.
Мультифунктор — это обобщение понятия бифунктора на переменных.
Примеры
Для задания функтора нужно определить действие его не только на объектах категории, но и (что более важно) на морфизмах: существуют различные функторы, действующие одинаково на объектах, например, тождественный функтор и антитождественный функтор, обращающий стрелки.
- Пусть
— подкатегория в категории
. В таком случае определён функтор вложения
, действующий на объектах и морфизмах как соответствующие вложения классов.
- Постоянный функтор: функтор, отображающий каждый объект категории
в фиксированный объект категории
, а каждый морфизм
— в тождественный морфизм этого объекта.
- Эндофункторами называют любые функторы из категории в себя.
- Двойственное векторное пространство: отображение, сопоставляющее каждому векторному пространству двойственное к нему, а каждому линейному отображению — двойственное (или транспонированное) отображение, является контравариантным эндофунктором на категории векторных пространств.
- Пусть
— (конкретная категория), то есть категория, снабженная унивалентным функтором в категорию множеств (частный случай забывающего функтора). С помощью этого функтора объектам категории сопосталяются множества, и можно думать о морфизмах, как о функциях на этих множествах, сохраняющих дополнительную структуру (пример: категории групп, категория колец, категория множеств). (Левый сопряжённый) (если он существует) к забывающему функтору есть функтор свободного объекта (пример: свободный модуль).
- Предпучки: пусть
— топологическое пространство, тогда открытые подмножества
образуют частично упорядоченное множество по отношению включения, обозначаемое
. Как и любому частично упорядоченному множеству,
можно сопоставить категорию, добавляя единственный морфизм
тогда и только тогда, когда
. Контравариантные функторы из
называются (предпучками). Например, существует функтор в категорию действительных алгебр, сопоставляющий открытому множеству алгебру вещественнозначных непрерывных функций на нём.
- Фундаментальная группа: каждому топологическому пространству
(с отмеченной точкой)
можно сопоставить фундаментальную группу
, элементы которой — классы эквивалентности петель с точностью до гомотопии. Если
— морфизм пространств с отмеченной точкой (непрерывное отображение, переводящее отмеченную точку первого пространства в отмеченную точку второго), каждой петле из точки
можно сопоставить её образ, являющийся петлёй из точки
. Это сопоставление согласуется с классами эквивалентности и с операцией композиции, следовательно, является гомоморфизмом из
в
. Нетрудно проверить, что выполняются и все остальные свойства ковариантного функтора из категории топологических пространств с отмеченной точкой в категорию групп.
- Касательное и кокасательное расслоение: отображение, сопоставляющее гладкому многообразию его касательное расслоение, а диффеоморфизму многообразий — его дифференциал, является ковариантным функтором из категории гладких многообразий и диффеоморфизмов в категорию векторных расслоений. Аналогично, кокасательное расслоение и (кодифференциал) диффеоморфизма задают контравариантный функтор.
- Рассмотрение касательного пространства в фиксированной точке задаёт ковариантный функтор из категории гладких многообразий с отмеченной точкой и гладких отображений в категорию векторных пространств.
- Тензорное произведение: если
— категория векторных пространств над фиксированным полем, тензорное произведение двух пространств задаёт функтор
, ковариантный по обоим аргументам.
- [англ.] — произвольные контравариантные функторы из (симплициальной категории) в различные категории (в категорию множеств — (симплициальное множество), в категорию групп — [англ.] и другие); конструкции, обобщающие понятие симплициального комплекса, играют важную роль в алгебраической топологии.
- Функтор
сопоставляет полю
его (абсолютную группу Галуа)
, а гомоморфизму полей — соответствующий[] гомоморфизм групп Галуа.
Свойства
- Функтор переводит коммутативные диаграммы в коммутативные диаграммы.
- Функтор переводит изоморфизмы в изоморфизмы.
- Композиция двух функторов тоже является функтором. Композиция функторов является ассоциативной операцией (там, где она определена), поэтому функторы между малыми категориями удовлетворяют всем свойствам морфизмов в категории.
Категория из одного объекта — то же самое, что моноид: морфизмы в ней соответствуют элементам моноида, а операция композиции морфизмов — операции, определённой в моноиде. Функторы между категориями с одним объектом взаимно однозначно соответствуют гомоморфизмам моноидов; следовательно, в некотором смысле функтор является обобщением понятия гомоморфизма моноидов на «моноиды, в которых операция композиции определена не всюду».
Связь с другими категорными понятиями
Пусть и
— категории. Множество всех морфизмов
можно считать множеством объектов другой категории: (категории функторов). Морфизмы в этой категории — естественные преобразования функторов.
Функторы довольно часто задают при помощи универсальных свойств, примеры включают в себя тензорные произведения, произведения групп, множеств или векторных пространств, (прямые) и обратные пределы. Также универсальные конструкции часто задают пару (сопряжённых функторов).
Примечания
- Маклейн, 2004, с. 42.
- Carnap R. The Logical Syntax of Language. — Routledge & Kegan Paul, 1937. — P. 13—14.
- Hazewinkel M., Gubareni N. M., Kirichenko V. V. . Algebras, Rings and Modules. Vol. 1. — Dordrecht: , 2004. — 380 p. — (Mathematics and Its Applications, vol. 575). — . — P. 99—100.
Литература
- Букур И., Деляну А. . Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972. — 259 с.
- Маклейн С. . Глава 2. Конструкции в категориях // Категории для работающего математика. — М.: Физматлит, 2004. — 352 с. — . — С. 43—67.
- Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. . Основы теории категорий. — М.: Наука, 1974. — 256 с.
Ссылки
- Marquis, Jean-Pierre. Category Theory (англ.). Stanford Encyclopedia of Philosophy. — Включает в себя очень полный список литературы. Дата обращения: 30 июля 2013. Архивировано 13 августа 2013 года.