В математическом анализе частная производная (первая производная) — одно из (обобщений понятия производной) на случай функции нескольких переменных. Частная производная — это предел отношения приращения функции по выбранной переменной к приращению этой переменной, при стремлении этого приращения к нулю.
Частная производная функции по переменной обычно обозначается , или . В случае если переменные нумерованы, например используются также обозначения и .
В явном виде частная производная функции в точке определяется следующим образом:
Оператор \ Функция | ||
---|---|---|
(Дифференциал) | 1: | 2: 3: |
Частная производная (первая производная) | ||
(Полная производная) (вторая производная) |
Обозначение
Следует обратить внимание, что обозначение следует понимать как цельный символ, в отличие от обычной производной функции одной переменной , которую можно представить, как отношение (дифференциалов) функции и аргумента. Однако, и частную производную можно представить как отношение дифференциалов, но в этом случае необходимо обязательно указывать, по какой переменной осуществляется приращение функции: , где — частный дифференциал функции по переменной . Часто непонимание факта цельности символа является причиной ошибок и недоразумений, как, например, сокращение в выражении .
Геометрическая интерпретация
Геометрически, частная производная даёт (производную по направлению) одной из координатных осей. Частная производная функции в точке по координате равна производной по направлению , где единица стоит на -м месте.
Примеры
Объём V конуса зависит от высоты h и радиуса r, согласно формуле
Частная производная объёма V относительно радиуса r
которая показывает скорость, с которой изменяется объём конуса, если его радиус меняется, а его высота остаётся неизменной. Например, если считать единицы измерения объёма , а измерения длины , то вышеуказанная производная будет иметь размерность скорости измерения объёма , т.е. изменение величины радиуса на 1 будет соответствовать изменению объёма конуса на .
Частная производная относительно h
которая показывает скорость, с которой изменяется объём конуса, если его высота меняется, а его радиус остаётся неизменным.
Полная производная V относительно r и h
и
Различие между полной и частной производной — устранение косвенных зависимостей между переменными в последней.
Если (по некоторым причинам) пропорции конуса остаются неизменными, то высота и радиус находятся в фиксированном отношении k,
Это даёт полную производную относительно r:
Уравнения, в которые входят частные производные, называются (дифференциальными уравнениями в частных производных) и широко известны в физике, инженерии и других науках и прикладных дисциплинах.
См. также
- (Смешанная частная производная)
Примечания
- Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления»
Для улучшения этой статьи :
|
Википедия, чтение, книга, библиотека, поиск, нажмите, истории, книги, статьи, wikipedia, учить, информация, история, скачать, скачать бесплатно, mp3, видео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, картинка, музыка, песня, фильм, игра, игры, мобильный, телефон, Android, iOS, apple, мобильный телефон, Samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Сеть, компьютер