Радиа́н (русское обозначение: рад, международное: rad; от лат. radius — луч, радиус) — центральный угол, соответствующий дуге окружности, длина которой равна радиусу этой окружности. Единица измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ), а также в системах единиц СГС и МКГСС.
Радиан | |
---|---|
рад | |
![]() 1 радиан — центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности | |
Величина | |
Система | СИ |
Тип | основная |
![]() |
![image](https://www.wikidata.ru-ru.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEucnUtcnUubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODFMelZoTDFKaFpHbGhiaTFqYjIxdGIyNHVjM1puTHpVd01IQjRMVkpoWkdsaGJpMWpiMjF0YjI0dWMzWm5MbkJ1Wnc9PS5wbmc=.png)
Радианная мера — угловая мера, в которой за единицу принимается угол в 1 радиан. То есть, радианная мера любого угла — это отношение этого угла к радиану. Из определения следует, что величина полного угла равна 2π радиан (см. рис. справа).
Определить радианную меру можно и так: радианная мера угла — отношение длины дуги окружности, находящейся между сторонами угла, к радиусу этой окружности, когда центр окружности совпадает с вершиной (угла). В геометрии для определения радианной меры угла используют единичную окружность с центром в вершине угла; тогда радианная мера угла равна длине дуги единичной окружности между сторонами угла.
Поскольку длина дуги окружности пропорциональна её угловой мере и радиусу, длина дуги окружности радиуса R и угловой величины α, измеренной в радианах, равна α ∙ R.
Так как величина угла, выраженная в радианах, равна отношению длины дуги окружности (м) к длине её радиуса (м), угол в радианном измерении — величина безразмерная.
Радиан в Международной системе единиц (СИ)
В качестве единицы измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ) радиан был принят XI Генеральной конференцией по мерам и весам в 1960 году одновременно с принятием системы СИ в целом. В настоящее время в системе СИ радиан квалифицируется как когерентная безразмерная производная единица СИ, имеющая специальные наименование и обозначение. Русское обозначение — рад, международное — rad.
Безразмерность плоского угла означает, что единицей его измерения является число один. Однако, применительно к плоскому углу единице «один» было присвоено специальное наименование «радиан» для того, чтобы в каждом конкретном случае облегчить понимание того, какая именно величина имеется в виду.
Кратные и дольные единицы
Десятичные кратные и дольные единицы радиана образуются с помощью стандартных приставок СИ, однако используются редко. Так, в миллирадианах, микрорадианах и нанорадианах измеряется угловое разрешение в астрономии. В кратных единицах (килорадианах и т. д.) измеряется набег угловой фазы. Сокращённое обозначение (рад, rad) основной и производных единиц не следует путать с устаревшей единицей измерения поглощённой дозы ионизирующего излучения — (рад).
Кратные | Дольные | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
величина | название | обозначение | величина | название | обозначение | ||
101 рад | декарадиан | дарад | darad | 10−1 рад | децирадиан | драд | drad |
102 рад | гекторадиан | град | hrad | 10−2 рад | сантирадиан | срад | crad |
103 рад | килорадиан | крад | krad | 10−3 рад | миллирадиан | мрад | mrad |
106 рад | мегарадиан | Мрад | Mrad | 10−6 рад | микрорадиан | мкрад | µrad |
109 рад | гигарадиан | Град | Grad | 10−9 рад | нанорадиан | нрад | nrad |
1012 рад | терарадиан | Трад | Trad | 10−12 рад | пикорадиан | прад | prad |
1015 рад | петарадиан | Прад | Prad | 10−15 рад | фемторадиан | фрад | frad |
1018 рад | эксарадиан | Эрад | Erad | 10−18 рад | атторадиан | арад | arad |
1021 рад | зеттарадиан | Зрад | Zrad | 10−21 рад | зепторадиан | зрад | zrad |
1024 рад | йоттарадиан | Ирад | Yrad | 10−24 рад | иокторадиан | ирад | yrad |
1027 рад | роннарадиан | Rrad | 10−27 рад | ронторадиан | rrad | ||
1030 рад | кветтарадиан | Qrad | 10−30 рад | квекторадиан | qrad | ||
рекомендовано к применению применять не рекомендуется не применяются или редко применяются на практике |
Связь радиана с другими единицами
![image](https://www.wikidata.ru-ru.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEucnUtcnUubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHhMekUxTDBGdVoyeGxYM0poWkdsaGJpNXpkbWN2TWpVMmNIZ3RRVzVuYkdWZmNtRmthV0Z1TG5OMlp5NXdibWM9LnBuZw==.png)
Пропорциональное соотношение радиана с другими единицами измерения углов описывается формулой:
Очевидно, (развернутый угол) равен или
радианам. Отсюда вытекает тривиальная формула пересчёта из (градусов, минут и секунд) в радианы и наоборот.
- a[°] = α[рад] × (360° / (2π)) или α[рад] × (180° / π),
- α[рад] = a[°] : (180° / π) = a[°] × (π / 180°),
где α[рад] — угол в радианах, a[°] — угол в градусах.
1 рад (или ) =
(мнемоническое правило запоминания в градусах-минутах-секундах: "Число радиана и порядок шутя пишу наизусть", где число букв в каждом слове равно соответствующей цифре в записи значения радиана, до десятой доли угловой секунды)
(или 1 рад в минутах) =
(или 1 рад в секундах) =
![image](https://www.wikidata.ru-ru.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEucnUtcnUubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODVMemxoTDBSbFozSmxaUzFTWVdScFlXNWZRMjl1ZG1WeWMybHZiaTV6ZG1jdk5EVXdjSGd0UkdWbmNtVmxMVkpoWkdsaGJsOURiMjUyWlhKemFXOXVMbk4yWnk1d2JtYz0ucG5n.png)
В метрической системе угловых мер прямой угол делится на 100 (градов) и каждый град на 100 сантиградов, который, в свою очередь, делится на сотые доли сантиграда, так что (или 1 рад в сотых долях «сантиграда») =
Употреблять его практически не приходится, так как метрическая система угловых мер пока не получила широкого распространения.
Чтобы легче запомнить, как переводят радианы в градусы и обратно, заметим:
Переводя радианы в градусы (или в минуты, или в секунды), мы из отвлеченного числа () делаем именованное (
) и поэтому должны множить на
или
;
Переводя градусы в радианы, мы, наоборот, уничтожаем наименование: получаем отвлечённое число; значит, здесь надо делить на или
либо же умножать на перевёрнутую дробь
Пример 1. Перевести в радианы
Альтернативный способ предусматривает перевод минут и секунд в десятичные (сотые и десятитысячные) доли градуса,
и однократного деления на (как правило, этот способ более точен)
Пример 2. Перевести в градусы 1 радиан.
Итого
Таблица градусов, радиан и град
Угол, в долях от полного | (Градусы) | Радианы | (Грады) | (Синус) | (Косинус) | (Тангенс) |
---|---|---|---|---|---|---|
не определён | ||||||
не определён | ||||||
Радианная мера в математическом анализе
При рассмотрении тригонометрических функций в математическом анализе всегда считается, что аргумент выражен в радианах, что упрощает запись; при этом само обозначение рад (rad) часто опускается.
При малых углах (синус) и (тангенс) угла, выраженного в радианах, приблизительно равны самому углу (в радианах), что удобно при приближённых вычислениях. При углах менее , приближение можно считать верным до третьего знака после запятой. Если угол меньше
, — то до шестого знака после запятой:
История
Первое использование радиана вместо углового градуса обычно приписывают (Роджеру Котсу) (XVIII век), который считал эту единицу измерения угла наиболее естественной. Однако идея измерять длину дуги радиусом окружности использовалась и другими математиками. Например, (Аль-Каши) использовал единицу измерения, названную им «часть диаметра», которая равнялась 1/60 радиана. Также им использовались и более мелкие производные единицы.
Термин «радиан» впервые появился в печати 5 июня (1873 года) в экзаменационных билетах, составленных (Джеймсом Томсоном) из (Университета Квинса) в Белфасте. Томсон использовал термин не позднее 1871 года, в то время как (Томас Мьюр) из Сент-Эндрюсского университета в 1869 году колебался в выборе между терминами «рад», «радиал» и «радиан». В 1874 году Мьюр, после консультаций с Джеймсом Томсоном, решил использовать термин «радиан».
См. также
- (Град, минута, секунда)
- (Градус, минута, секунда)
- Оборот (единица измерения)
- Парсек
- (Стерадиан)
- (Тысячная (угол))
Примечания
- Радиан // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская энциклопедия, 1984. — Т. 4. 21 января 2022 года.
- Деньгуб В. М., Смирнов В. Г. Единицы величин. Словарь-справочник. — М.: Издательство стандартов, 1990. — С. 98. — 240 с. — .
- Выгодский, 1965.
- Гельфанд, Львовский, Тоом, 2002.
- David E. Joyce. Measurement of Angles (англ.). Dave's Short Trig Course. Clark University. Дата обращения: 8 сентября 2015. 7 сентября 2015 года.
- Резолюция 12 XI Генеральной конференции по мерам и весам (1960) (англ.). Международное бюро мер и весов. Дата обращения: 19 декабря 2014. 28 июля 2012 года.
- Производная единица измерения называется когерентной, если она выражается в виде произведения степеней основных единиц измерения с коэффициентом пропорциональности, равным единице.
- оригинала 10 ноября 2012 года. Дата обращения: 18 сентября 2012. Архивировано из
- Units for dimensionless quantities, also called quantities of dimension one (англ.). SI Brochure: The International System of Units (SI). Международное бюро мер и весов (2006). Дата обращения: 19 декабря 2014. 7 октября 2014 года.
- Лишние цифры [после четвёртого знака после запятой] в выражениях минут и секунд зачастую отбрасываются ввиду того, что следующая цифра в выражении градусов неизвестна, и, следовательно, писать цифры дальше четвёртой [обозначены нижним индексом] — напрасный труд.
- Abramowitz & Stegun, 1972, p. 74, 4.3.46.
-
(точность нарушается в четвертом знаке после запятой)
(точность не выдерживается в седьмом знаке после запятой)
Именно поэтому промежутки шкал(ы) на (счётной линейке) имеют пределыи
; ниже этого значения (до 0) разграфки нет, так как углы (в радианах) совпадают со значениями синусов/тангенсов в пределах точности линейки (Панов Д. Ю. Счётная линейка. — 25-е изд. — М.: изд-во Наука (Гл. ред. физ.-мат. литературы), 1982. — 176 с.)
- O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. Biography of Roger Cotes . The MacTutor History of Mathematics (февраль 2005). Дата обращения: 3 февраля 2014. Архивировано 24 сентября 2012 года.
- Luckey, Paul. Der Lehrbrief über den kreisumfang von Gamshid b. Mas'ud al-Kasi (нем.) / Siggel, A.. — Berlin: Akademie Verlag, 1953. — S. 40.
- (Florian Cajori). History of Mathematical Notations (неопр.). — 1929. — Т. 2. — С. 147—148. — .
- Muir, Thos. The Term "Radian" in Trigonometry (англ.) // Nature. — 1910. — Vol. 83, no. 2110. — P. 156. — doi:10.1038/083156a0. — .Thomson, James. The Term "Radian" in Trigonometry (англ.) // Nature. — 1910. — Vol. 83, no. 2112. — P. 217. — doi:10.1038/083217c0. — .Muir, Thos. The Term "Radian" in Trigonometry (англ.) // Nature. — 1910. — Vol. 83, no. 2120. — P. 459—460. — doi:10.1038/083459d0. — .
- Miller, Jeff Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (23 ноября 2009). Дата обращения: 30 сентября 2011. 18 января 2021 года.
Литература
- Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — Наука, 1965. — С. 340—343. — 424 с.
- (Гельфанд И. М.), Львовский С. М., Тоом А. Л. Тригонометрия. — М.: МЦНМО, 2002. — С. 7—8. — 199 с. — .
- Abramowitz, M.; Stegun, I. A. (англ.). — New York: (Dover Publications), 1972. — .
В другом языковом разделе есть более полная статья Radian (англ.). |
Википедия, чтение, книга, библиотека, поиск, нажмите, истории, книги, статьи, wikipedia, учить, информация, история, скачать, скачать бесплатно, mp3, видео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, картинка, музыка, песня, фильм, игра, игры, мобильный, телефон, Android, iOS, apple, мобильный телефон, Samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Сеть, компьютер