Вершинная фигура

Линк вершины многогранника или вершинная фигура — многогранник на единицу меньшей размерности, который получается в сечении исходного многогранника плоскостью, срезающей одну вершину. В частности линк вершины содержит информацию о порядке следования граней многогранника вокруг одной вершины.

Линк вершины треугольной призмы является треугольником.

Линк вершины (большого икосаэдра) — пентаграмма.

Определения — основное и вариации

Если взять некоторую вершину многогранника, отметить точку где-нибудь на каждом из прилегающих рёбер, нарисовать отрезки на гранях, соединяя полученные точки, в результате получится полный цикл (многоугольник) вокруг вершины. Этот многоугольник и является линком вершины.

Формальное определение может варьироваться очень широко в зависимости от обстоятельств. Например, Коксетер (1948, 1954) менял своё определение как ему удобно для текущего обсуждения. Большинство нижеприведённых определений линка подходит одинаково хорошо как для бесконечных мозаик на плоскости, так и для (пространственных мозаик) из многогранников.

Как плоское сечение

Если срезать вершину многогранника, пересекая каждое из рёбер, смежных вершине, поверхность среза будет являться линком. Это, пожалуй, наиболее общепринятый подход и наиболее понятный. Разные авторы делают срез в разных местах. Веннинджер перерезает каждое ребро на единичном расстоянии от вершины, так же как это делает и Коксетер (1948). Для однородных многогранников построение Дормана Люка пересекает каждое смежное ребро в середине. Другие авторы делают сечение через вершину на другой стороне каждого ребра.

Как сферический многоугольник

Кромвель делает сферическое сечение с центром в вершине. Поверхность сечения или линк, тогда, является сферическим многоугольником на этой сфере.

Как множество связных вершин

Многие комбинаторные и вычислительные подходы (например, Скиллинг) рассматривают линк как упорядоченное (или частично упорядоченное) множество точек всех соседних (соединённых ребром) вершин для данной вершины.

Абстрактное определение

В теории (абстрактных многогранников) линка заданной вершины V состоит из всех элементов, инцидентных вершине — вершин, рёбер, граней и т. д.

Это множество элементов известно как вершинная звезда.

Основные свойства

Линка вершины n-многогранника — это (n−1)-многогранник. Например, линком вершины 3-мерного многогранника является многоугольник, а линком для (4-мерного многогранника) является 3-мерный многогранник.

Линки наиболее полезны для (однородных многогранников), поскольку все вершины имеют один линк.

Для невыпуклых многогранников линк может быть тоже невыпуклым. Однородные многогранники, например, могут иметь грани в виде (звёздчатых многоугольников), звёздчатыми могут быть и линки.

Построение Дормана Люка

Грань двойственного многогранника двойственные линку соответствующей вершины.

Правильные многогранники

Если многогранник правильный, его можно описать символом Шлефли, символы граней, и линков можно извлечь из этой записи.

В общем случае правильный многогранник с символом Шлефли {a,b,c,...,y,z} имеет грани (наибольшей размерности) {a,b,c,...,y}, а в качестве линка будет {b,c,...,y,z}.

1. Для трёхмерного правильных многогранников, возможно (звёздчатых) {p,q}, линком будет {q}, q-угольник.
   • Например, линк для куба {4,3} — треугольник {3}.
2. Для (правильных 4-мерных многогранников) или (пространственных мозаик) {p,q,r} линком будет {q,r}.
   • Например, линком для гиперкуба {4,3,3} будет правильный тетраэдр {3,3}.
   • Линком для (кубических сот) {4,3,4} будет правильный октаэдр {3,4}.

Поскольку двойственный многогранник правильного многогранника также является правильным и представляется обратными индексами в символе Шлефли, легко понять, что двойственная фигура к линку вершины является ячейкой двойственного многогранника. Для правильных многогранников этот факт является частным случаем построения Дормана Люка.

Пример линка сот

Линком вершины ^[англ.] является неоднородная (квадратная пирамида). Один октаэдр и четыре усечённых куба, расположенных около каждой вершины, образуют пространственную мозаику.

Линк вершины: Неоднородная (квадратная пирамида)	Диаграмма Шлегеля	Перспектива
Образуется из квадратного основания (октаэдра)	(3.3.3.3)
и четырёх (равнобедренных треугольных) сторон (усечённого куба)	(3.8.8)

Линк ребра

Усечённые кубические соты имеют два типа рёбер. Рёбра первого типа принадлежат четырём усечённым кубам, а рёбра второго — одному октаэдру и двум усечённым кубам. Это можно рассматривать как два вида линка рёбер. Эти рёбра можно рассматривать как линк линка

С линком связано другое понятие — линк ребра. Линк ребра является (n−2)-многогранником, представляющим расстановку граней размерности n−1 вокруг данного ребра (прилегающих к данному ребру). Линк ребра является линком вершины линка вершины. Линки ребер полезны для выражения связей между элементами правильных и однородных многогранников.

Правильные и однородные многогранники, полученные в результате отражений с одним (активным зеркалом), имеют единственный тип линка ребра, но в общем случае однородный многогранник может иметь столько линков, сколько зеркал активны при построении, поскольку каждое активное зеркало создаёт ребро в фундаментальной области.

Правильные многогранники (и соты) имеют единственный линк ребра, которая является также правильным. Для правильного многогранника {p,q,r,s,...,z} линк ребра будет {r,s,...,z}.

В четырёхмерном пространстве линк ребра многогранника или (трёхмерных сот) является многоугольником, представляющим расположение граней вокруг ребра. Например, линк ребра правильных (кубических сот) {4,3,4} является квадрат, а для правильного четырёхмерного многогранника {p,q,r} линк ребра будет {r}.

Менее очевидно, что у ^[англ.] t_0,1{4,3,4} в качестве линк вершины выступает (квадратная пирамида). Здесь присутствует два типа линков ребер. Один — квадратный линк ребра при вершине пирамиды, она соответствует четырём усечённым кубам вокруг ребра. Второй лик — треугольники при основании пирамиды. Они представляют расположение двух усечённых кубов и октаэдра вокруг других ребер.

См. также

• (Вершинная конфигурация)
• (Список правильных многомерных многогранников и соединений)

Примечания

1. Веннинджер, 1974, с. 23.
2. Wenninger, 2003.
3. Coxeter, 1954, p. 401–450.
4. Skilling, 1975, p. 111–135.
5. Cromwell, 1999.
6. Skilling, 1975.
7. Klitzing: Vertex figures, etc.  (неопр.) Дата обращения: 3 ноября 2015. 8 августа 2011 года.

Литература

• (М. Веннинджер). Модели многогранников / Пер. с англ. В. В. Фирсова. Под ред. и с послесл. (И. М. Яглома). — М.: Мир, 1974. — 236 с.
• H. S. M Coxeter. Chapter 8: Truncation // ^[англ.]. — 3rd edition. — New York: Dover Publications Inc., 1973. — С. 145–154. — .
• H. S. M. Coxeter (et al.). Uniform Polyhedra. — Phil. Trans, 1954. — Т. 246 A.
• P. Cromwell. Polyhedra. — Cambridge University press, 1999. — .
• H. M. Cundy, A. P. Rollett. Mathematical Models. — Oxford, New York, 1961.
• J. Skilling. The Complete Set of Uniform Polyhedra. — 1975. — Т. 278 A.
• M. Wenninger. Dual Models. — Cambridge University press, 2003. — .
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Vertex figures // The Symmetries of Things. — 2008. — .

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Vertex figure (англ.) на сайте Wolfram (MathWorld).
• Vertex Figures