Выборочная (эмпири́ческая) фу́нкция распределе́ния в математической статистике — это приближение теоретической функции распределения, построенное с помощью выборки из него.
Определение
Пусть — выборка объёма
, порождённая случайной величиной
, задаваемой функцией распределения
. Будем считать, что
, где
, — независимые случайные величины, определённые на некотором (пространстве элементарных исходов)
. Пусть
. Определим функцию
следующим образом:
,
где — (индикатор) события
,
— (функция Хевисайда). Таким образом, значение функции
в точке
равно относительной частоте элементов выборки, не превосходящих значение
. Функция
называется выборочной функцией распределения случайной величины
, или эмпирической функцией выборки, и является аппроксимацией для функции
. Существует (теорема Колмогорова), утверждающая, что при
функция
(равномерно сходится) к
, и указывающая скорость сходимости. Для каждого положительного
,
— случайная величина со значением
.
Основные свойства
- Пусть зафиксирован (элементарный исход)
. Тогда
является функцией распределения дискретного распределения, задаваемого следующей функцией вероятности:
,
где , а
— количество элементов выборки, равных
. В частности, если все элементы выборки различны, то
.
Математическое ожидание этого распределения имеет вид:
.
Таким образом, выборочное среднее — это теоретическое среднее выборочного распределения. Аналогично, (выборочная дисперсия) — это теоретическая дисперсия выборочного распределения.
- Случайная величина
имеет (биномиальное распределение):
.
- Выборочная функция распределения
является (несмещённой оценкой) функции распределения
:
.
- Дисперсия выборочной функции распределения имеет вид:
.
- Согласно (усиленному закону больших чисел), выборочная функция распределения (сходится почти наверное) к теоретической функции распределения:
почти наверное при
.
- Выборочная функция распределения является (асимптотически нормальной оценкой) теоретической функции распределения. Если
, то
(по распределению) при
.
См. также
- Гистограмма (статистика)
- (Теорема Гливенко — Кантелли)
- (Теорема Колмогорова)
В статье не хватает (см. ). |
Википедия, чтение, книга, библиотека, поиск, нажмите, истории, книги, статьи, wikipedia, учить, информация, история, скачать, скачать бесплатно, mp3, видео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, картинка, музыка, песня, фильм, игра, игры, мобильный, телефон, Android, iOS, apple, мобильный телефон, Samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Сеть, компьютер