Полупространство

Полупростра́нство, ограниченное гиперплоскостью α, — это геометрическая фигура в пространстве, для которой выполняется следующее:

1. Эта фигура включает в себя плоскость α, но не сводится к ней.
2. Любой отрезок, ограниченный произвольными точками этой фигуры A и B, не принадлежащими α, не имеет пересечений с плоскостью α.
3. Любой отрезок, ограниченный произвольными точками этой фигуры A и B, где А принадлежит α, а B — нет, имеет пересечение с плоскостью α.

Красная плоскость определяет синее полупространство

Формальное определение

Пусть ${\displaystyle V}$ будет векторным пространством, ${\displaystyle \lambda \colon V\to \mathbb {R} }$ (линейной формой), тогда каждое число ${\displaystyle \beta \in \mathbb {R} }$ определяет замкнутое полупространство

${\displaystyle \{v\in V\mid \lambda (v)\geq \beta \}}$

Если неравенство строгое, то полупространство

${\displaystyle \{v\in V\mid \lambda (v)>\beta \}}$

называется открытым.