Запрос Развёртка перенаправляется сюда см также другие значения Развёртка многогранника совокупность многоугольников соо

Развёртка многогранника — совокупность многоугольников, соответственно равных граням многогранника, с указанием того, какие стороны и вершины многоугольников соответствуют одним и тем же рёбрам и вершинам многогранника. Модели многогранников часто склеиваются из развёрток или отдельных многоугольников с указанием сторон, которые должны быть склеены.

Развёртки (платоновых тел) с «крылышками» для склеивания граней

(Октаэдр)

Большие размерности

(Тессеракт)
(24-ячейник)

Свойства

Существуют примеры развёрток, из которых можно склеить различные выпуклые многогранники.
Известны примеры невыпуклых многогранников, не допускающих развёрток.
Среди тетраэдров можно найти пример, такой что разрезание рёбер по остовному дереву даёт развёртку с самоналеганиями.

В 1975 году ^[англ.] сформулировал гипотезу, что каждый выпуклый многогранник имеет развёртку без наложений. Эта гипотеза остаётся открытой до сегодняшнего дня. Известно следующее:
- Для невыпуклых многогранников утверждение не верно.
- Некоторые многогранники, например, неправильные тетраэдры определённого типа, допускают развёртки с самоперекрытиями.
- Гипотеза верна для многогранников, у которых одна из граней имеет общее ребро со всеми остальными.
- В 2014 Мохамед Гоми доказал, что такая развёртка найдётся, если применить к многограннику аффинное преобразование определённого типа. В частности, из любого комбинаторного класса выпуклых многогранников можно выбрать многогранник, допускающий развёртку.

См. также

(Паттерн (оригами))
(Эвольвента) — развёртка кривой.

Примечания

ЭЭМ, книга IV, 1963, с. 410.
Веннинджер, 1974.
(Demaine, Erik D.); (2007), "Chapter 22. Edge Unfolding of Polyhedra", Geometric Folding Algorithms: Linkages, Origami, Polyhedra, Cambridge University Press, pp. 306—338
(1975), "Convex polytopes with convex nets", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 78 (3): 389—403, doi:10.1017/s0305004100051860, MR 0390915
Weisstein, Eric W. Shephard's Conjecture (англ.) на сайте Wolfram (MathWorld).
dmoskovich (June 4, 2012), "Dürer's conjecture", Open Problem Garden от 2 июня 2017 на Wayback Machine
Ghomi, Mohammad (2014), "Affine unfoldings of convex polyhedra", , 18: 3055—3090, arXiv:1305.3231

Литература

Энциклопедия элементарной математики / Главная редакция: П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин. Редакторы книги четвёртой: В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. — 1963. — Т. IV.
(Веннинджер М.) Модели многогранников / Пер. с англ. В. В. Фирсова. Под ред. и с послесл. И. М. Яглома. — М.: Мир, 1974.

[_2ae197c52593321e-1] ЭЭМ, книга IV, 1963, с. 410.

[_c781f4050abb40e0-2] Веннинджер, 1974.

[3] (Demaine, Erik D.); (2007), "Chapter 22. Edge Unfolding of Polyhedra", Geometric Folding Algorithms: Linkages, Origami, Polyhedra, Cambridge University Press, pp. 306—338

[4] (1975), "Convex polytopes with convex nets", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 78 (3): 389—403, doi:10.1017/s0305004100051860, MR 0390915

[5] Weisstein, Eric W. Shephard's Conjecture (англ.) на сайте Wolfram (MathWorld).

[6] skovich (June 4, 2012), "Dürer's conjecture", Open Problem Garden от 2 июня 2017 на Wayback Machine

[7] Ghomi, Mohammad (2014), "Affine unfoldings of convex polyhedra", , 18: 3055—3090, arXiv:1305.3231