Теория функций вещественной переменной

Теория функций вещественной переменной (ТФВП, или теория функций действительного переменного, ТФДП) — раздел математического анализа, изучающий вопросы представления и приближения функций, их локальные и глобальные свойства. При этом, в отличие от классического дифференциального и интегрального исчисления, ТФВП опирается на теорию множеств и теорию меры, широко использует их понятия и методы, что позволило значительно обобщить классические результаты, дать им строгое обоснование и получить новые результаты.

Классический анализ XVII—XIX веков в основном ограничивался исследованием гладких или (кусочно-гладких функций). Во второй половине XIX века выяснилось, что практический интерес представляют и более общие классы функций; выяснилось также, что казавшиеся интуитивно очевидными такие понятия, как непрерывность, длина кривой или площадь поверхности, требуют более строгого определения. Проблема была решена с появлением меры Лебега и теоретико-множественного подхода к понятию функции как бинарному отношению. Новый фундамент анализа позволил сохранить все накопленные ранее знания (хотя часть формулировок пришлось уточнить) и доказать ряд новых глубоких теорем, таких как (лемма Гейне — Бореля), (теорема Асколи — Арцела), (теорема Вейерштрасса — Стоуна), (лемма Фату), (теорема Лебега о мажорируемой сходимости) и многие другие.

ТФВП тесно связана с такими разделами математики, как геометрия, линейная алгебра, функциональный анализ, топология и др.

Состав ТФВП

В состав ТФВП входят различные подразделы, среди которых как основные можно выделить три:

1. Дескриптивная теория функций. В ней изучаются общие свойства классов функций, полученных в результате предельных переходов. В этом подразделе, в частности, были открыты (классы функций Бэра), тесно связанные с классификацией борелевских множеств.
2. Метрическая теория функций. Она изучает свойства функций на основе понятия лебеговой меры множества (введённой (Анри Лебегом) в 1902 году) и теории (интеграла Лебега). Кроме функций, здесь изучаются свойства производных, интегралов, функциональных рядов, строится общая теорию суммирования рядов и последовательностей. Место гладких функций заняли гораздо более широкие классы измеримых, (суммируемых) и (обобщённых функций).
3. (Теория приближения функций) (например, многочленами).

См. также

• (Теория функций комплексной переменной)
• Функциональный анализ

Примечания

1. Математическая энциклопедия, 1985, с. 688—690.
2. Математика, её содержание, методы и значение, 1956, с. 4.
3. Натансон, 1974, с. 7.
4. Математическая энциклопедия, 1985, с. 689.
5. БРЭ.
6. Приближение функций // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.

Литература

• (Натансон, И. П.) Теория функций вещественной переменной. — 3-е изд. — М.: Наука, 1974. — 484 с.
• Теория функций действительного переменного // Математика, её содержание, методы и значение (в трёх томах), глава XV. — М.: АН СССР, 1956. — Т. 3. — 336 с.
• (Фролов Н. А.) Теория функций действительного переменного. — 2-е изд. — М.: Учпедгиз, 1961. — 172 с.
• Функций действительного переменного теория // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5.

Ссылки

• Погребной В. Д. Теория функций действительной переменной. Конспект лекций (PDF)  (неопр.). (недоступная ссылка)
• Теория функций // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
• Функций теория  (неопр.). Энциклопедия Кругосвет. Дата обращения: 21 декабря 2020.