Дифференциа́льная геоме́трия — раздел математики, изучающий гладкие многообразия, обычно с дополнительными структурами. Они находят множество применений в физике, особенно в общей теории относительности.
Основные подразделы дифференциальной геометрии:
- (дифференциальная геометрия кривых),
- (дифференциальная геометрия поверхностей),
- (дифференциальная геометрия многообразий фигур),
- риманова геометрия,
- (псевдориманова геометрия),
- [англ.],
- (симплектическая геометрия),
- (теория поверхностей),
- (финслерова геометрия).
Часто дифференциальная геометрия рассматривается как неделимый раздел вместе с дифференциальной топологией. Различиями между этими разделами могут быть наличие или отсутствие дополнительных структур на гладком многообразии, но может быть также наличие или отсутствие локальных инвариантов: в дифференциальной топологии рассматриваются такие структуры на многообразиях, что у любой пары точек можно найти одинаковые окрестности, тогда как в дифференциальной геометрии, вообще говоря, могут присутствовать локальные инварианты (такие как (кривизна)), которые могут различаться в точках. Например, симплектическая структура таких инвариантов не имеет, и наряду с симплектической геометрией рассматривается «(симплектическая топология)».
(Математическая предметная классификация) выделяет для дифференциальной геометрии раздел верхнего уровня 53
, а дифференциальную топологию относит в качестве блока второго уровня 57Rxx
в разделе «Многообразия и клеточные комплексы».
История
Дифференциальная геометрия возникла и развивалась в тесной связи с математическим анализом, который сам в значительной степени вырос из задач геометрии. Многие геометрические понятия предшествовали соответствующим понятиям анализа. Так, например, понятие касательной предшествовало понятию производной, понятие (площади) и объёма — понятию интеграла.
Возникновение дифференциальной геометрии относится к XVIII веку и связано с именами Эйлера и (Монжа). Первое сводное сочинение по теории поверхностей написано Монжем («Приложение анализа к геометрии», (1795)). В 1827 году Гаусс опубликовал работу «Общее исследование о кривых поверхностях», в которой заложил основы теории поверхностей в её современном виде. С тех пор дифференциальная геометрия перестала быть только приложением анализа и заняла самостоятельное место в математике.
Огромную роль в развитии всей геометрии, в том числе и дифференциальной геометрии, сыграло открытие неевклидовой геометрии. Риман в своей лекции «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии» ((1854)) заложил основы римановой геометрии, наиболее развитой части современной дифференциальной геометрии.
Теоретико-групповая точка зрения Клейна, изложенная в его «(Эрлангенской программе)» ((1872)), то есть: геометрия — учение об инвариантах групп преобразований, в применении к дифференциальной геометрии была развита Картаном, который построил теорию пространств и (аффинной связности).
Дифференциальная топология является гораздо более молодым разделом математики: он начал развиваться только в начале XX века.
Литература
- Дифференциальная топология // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
- Дубровин Б. А., (Новиков С. П.), (Фоменко А. Т.) Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1986. — 760 с.
- Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — М.: МГУ, 1980. — 439 с.
- [англ.]. Дифференциальная геометрия и топология. — М.: Мир, 1970. — 223 с.
- (Веблен О.), Уайтхед Дж. Основания дифференциальной геометрии = The Foundations of Differential Geometry / Пер. с англ. М. Г. Фрейдиной. — М.: ИЛ, 1949. — 230 с.
- Гусейн-Заде С. М. Лекции по дифференциальной геометрии. — М.: МГУ, 2001. — 54 с.
- (Егоров Д. Ф.) Работы по дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1970. — 380 с.
- (Номидзу К.) Группы Ли и дифференциальная геометрия = Lie Groups and Differential Geometry / Пер. с англ. Ю. А. Шуб-Сизоненко. — М.: ИЛ, 1960. — 128 с.
- (Погорелов А. В.) Дифференциальная геометрия. — 6-ое изд. — М.: Наука, 1974. — 176 с.
- Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. — 3-е изд. — М.—Л.: ГИТТЛ, 1950. — 428 с.
- Розендорн Э. Р. Задачи по дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1971. — 64 с.
- Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии = Lectures on Differential Geometry / Пер. с англ. Д. В. Алексеевского. — М.: Мир, 1970. — 412 с.
- Троицкий Е. В. Дифференциальная геометрия и топология. — М.: МГУ, 2003. — 52 с.
- (Фиников С. П.) Дифференциальная геометрия. Курс лекций. — М.: МГУ, 1961. — 158 с.
- Фиников С. П. Проективно-дифференциальная геометрия. — М.—Л.: ОНТИ, 1937. — 264 с.
- Скопенков А. Основы дифференциальной геометрии в интересных задачах. — М.: МЦНМО, 2008.
В статье есть список , но не хватает . |
Википедия, чтение, книга, библиотека, поиск, нажмите, истории, книги, статьи, wikipedia, учить, информация, история, скачать, скачать бесплатно, mp3, видео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, картинка, музыка, песня, фильм, игра, игры, мобильный, телефон, Android, iOS, apple, мобильный телефон, Samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Сеть, компьютер