Коммутативное кольцо кольцо в котором операция умножения коммутативна обычно также подразумевается её ассоциативность и

Коммутативное кольцо — кольцо, в котором операция умножения коммутативна (обычно также подразумевается её ассоциативность и существование единицы). Изучением свойств коммутативных колец занимается коммутативная алгебра.

Идеалы и спектр кольца

Некоторые из последующих определений существуют и для некоммутативных колец, однако становятся более сложными. Например, (идеал) в коммутативном кольце автоматически является двусторонним, что существенно упрощает ситуацию.

Идеалы и факторкольца

Внутренняя структура коммутативного кольца определяется структурой его идеалов, то есть непустых подмножеств, замкнутых относительно сложения, а также умножения на произвольный элемент кольца. По данному подмножеству F = {f_j}_{j ∈ J} коммутативного кольца R можно построить наименьший идеал, содержащий это подмножество. А именно, это пространство конечных линейных комбинаций вида

r₁f₁ + r₂f₂ + … + r_nf_n.

Идеал, порожденный одним элементом, называется (главным). Кольцо, в котором все идеалы главные, называется (кольцом главных идеалов), два важных примера таких колец — $\mathbb {Z}$ и кольцо многочленов над полем k $k[x]$ . Любое кольцо имеет как минимум два идеала — нулевой идеал и само кольцо. Идеал, который не содержится в другом несобственном (не совпадающем с самим кольцом) идеале называется (максимальным). Из (леммы Цорна) следует, что в любом кольце существует хотя бы один максимальный идеал.

Определение идеала построено таким образом, что позволяет «поделить» кольцо на него, то есть существует факторкольцо R / I: это множество (смежных классов) по I с операциями

(a + I) + (b + I) = (a + b) + I and (a + I)(b + I) = ab + I.

Эти операции определены корректно, например, (a + I)(b + I) = ab + aI + Ib + I*I = ab + I, так как aI принадлежит I и т. д. Из этого понятно, почему определение идеала именно такое.

Локализация

Локализация кольца — это операция, в некотором смысле противоположная ко взятию фактора: в факторкольце элементы некоторого подмножества превращаются в ноль, тогда как в локализации элементы некоторого множества становятся обратимыми. А именно, если S — это подмножество R, замкнутое относительно умножения, то локализация по S, обозначаемая как S⁻¹R, состоит из формальных символов вида

{\frac {r}{s}}

, где r ∈ R, s ∈ S

с правилом сокращения числителя и знаменателя, похожим на обычное правило (но не совпадающим с ним). Операции сложения и умножения на таких «дробях» определяются обычным образом.

На этом языке Q — это локализация Z по множеству ненулевых целых чисел. Эту же операцию можно провести с любым (целостным кольцом) на месте Z: локализация (R \ {0})⁻¹R называется (полем частных) кольца R. Если S состоит из всех степеней фиксированного элемента f, локализация обозначается как R_f.

Простые идеалы и спектр

Особенно важный тип идеалов — простые идеалы, часто обозначаемые буквой p. По определению, простой идеал — это несобственный идеал, такой что если в нём содержится произведение двух элементов, то в нём содержится хотя бы один из этих элементов. Эквивалентное определение — факторкольцо R / p целостно. Ещё одно эквивалентное определение — (дополнение) R \ p замкнуто относительно умножения. Локализация (R \ p)⁻¹R достаточно важна, чтобы иметь своё собственное обозначение: R_p. Это кольцо имеет только один максимальный идеал: pR_p. Подобные кольца называются (локальными).

Простые идеалы — ключевой элемент геометричного описания кольца, с помощью спектра кольца Spec R. Как множество, Spec R состоит из простых идеалов. Если R — поле, в нём есть только один простой идеал (нулевой), поэтому спектр поля — точка. Другой пример — Spec Z содержит одну точку для нулевого идеала и одну — для каждого простого числа p. Спектр снабжен топологией Зарисского, в которой открытые множества — это множества вида D(f) = {p ∈ Spec R, f ∉ p}, где f — произвольный элемент кольца. Эта топология отличается от обычных примеров топологий из анализа: например, замыкание точки, соответствующей нулевому идеалу — это всегда весь спектр.

Определение спектра является базовым для коммутативной алгебры и алгебраической геометрии. В алгебраической геометрии спектр снабжается пучком ${\mathcal {O}}$ . Пара «пространство и пучок на нём» называется (аффинной схемой). По аффинной схеме можно восстановить исходное кольцо путём применения (функтора глобальных сечений). Более того, это соответствие функториально: оно сопоставляет каждому гомоморфизму колец f : R → S непрерывное отображение в противоположном направлении:

Spec S → Spec R, q ↦ f⁻¹(q) (прообраз любого простого идеала прост).

Таким образом, категории аффинных схем и коммутативных колец (эквивалентны). Следовательно, многие определения, применяемые к кольцам и их гомоморфизмам появляются из геометрической интуиции. Аффинные схемы являются локальными данными для схем (примерно так же, как пространства Rⁿ являются локальными данными многообразий), которые представляют собой основной объект изучения алгебраической геометрии.

Гомоморфизмы колец

Как обычно в алгебре, гомоморфизмом называется отображение между алгебраическими объектами, сохраняющее их структуру. В частности, гомоморфизм (коммутативных) колец с единицей — это отображение f : R → S, такое что

f(a + b) = f(a) + f(b), f(ab) = f(a)f(b) and f(1) = 1.

В этой ситуации S также является R-алгеброй: действительно, элементы S можно умножать на элементы R по правилу

r · s := f(r) · s.

Ядро и образ гомоморфизма f — это множества ker (f) = {r ∈ R, f(r) = 0} и im (f) = f(R) = {f(r), r ∈ R}. Ядро является идеалом в R, а образ — (подкольцом) S.

Размерность

Размерность Крулля (или просто размерность) является способом измерение «размера» кольца. А именно, это максимальная длина n цепочки простых идеалов вида

{\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}

.

Например, поле имеет размерность 0, потому что оно имеет только один идеал — нулевой. Размерность целых чисел — единица; единственная цепочка простых идеалов имеет вид

0={\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq p\mathbb {Z} ={\mathfrak {p}}_{1}

, где p — простое число.

(Локальное кольцо) с максимальным идеалом m называется (регулярным), если его размерность равна размерности m/m² как векторного пространства над R/m.

Построение коммутативных колец

Примечания

Атья-Макдональд, Введение в коммутативную алгебру, 2003.

Литература

(Атья М.), (Макдональд И.) Введение в коммутативную алгебру. — Факториал Пресс, 2003 — .
Eisenbud, David (1995), Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry., Graduate Texts in Mathematics, vol. 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN , MR 1322960
Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). «Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : I. Le langage des schémas». — Publications Mathématiques de l’IHÉS 4
Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN
Pinter-Lucke, James (2007), "Commutativity conditions for rings: 1950–2005", Expositiones Mathematicae, 25 (2): 165—174, doi:10.1016/j.exmath.2006.07.001, ISSN 0723-0869
Zariski, Oscar; Samuel, Pierre (1958-60), Commutative Algebra I, II, University series in Higher Mathematics, Princeton, N.J.: D. van Nostrand, Inc. {{}}: Проверьте значение даты: |year= ()

[1] Атья-Макдональд, Введение в коммутативную алгебру, 2003.