Медиана треугольника

У этого термина существуют и другие значения, см. Медиана.

Медиа́на треуго́льника (лат. mediāna — средняя) ― отрезок в треугольнике, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, противоположной этой вершине. Иногда медианой называют также прямую, содержащую этот отрезок, а иногда длину этого отрезка. Точка пересечения медианы со стороной треугольника называется основанием медианы.

Треугольник и его медианы.

Если ${\displaystyle ABC}$ ― треугольник, и ${\displaystyle a=BC}$, ${\displaystyle b=AC}$, ${\displaystyle c=AB}$ ― длины сторон (или просто стороны), то медианы, проведённые соответственно из вершин ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ к сторонам ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, обычно обозначаются ${\displaystyle m_{a}}$, ${\displaystyle m_{b}}$ и ${\displaystyle m_{c}}$.

Связанные определения

Точка пересечения медиан делит каждую медиану на два отрезка. Отрезок от вершины до точки пересечения называется предмедианой, а отрезок от точки пересечения до противоположной стороны постмедианой. В частности можно сказать, что в любом треугольнике отношение предмедианы к постмедиане равно двум.

Свойства

Основное свойство

Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.

Свойства медиан (равнобедренного треугольника)

В (равнобедренном треугольнике) две медианы, проведенные к равным сторонам треугольника, равны, а третья медиана одновременно является биссектрисой и (высотой). Верно и обратное: если в треугольнике две медианы равны, то треугольник — равнобедренный, а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой угла при своей вершине.

У равностороннего треугольника все три медианы равны.

Если медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, пересекаются под прямым углом, то косинусы углов при основании этого треугольника равны ${\displaystyle {\dfrac {1}{\sqrt {10}}}}$, а косинус противоположного основанию угла равен ${\displaystyle {\dfrac {4}{5}}}$.

Свойства оснований медиан

Окружность девяти точек

• Теорема Эйлера для (окружности девяти точек): основания трёх (высот) произвольного треугольника, середины трёх его сторон (основания его медиан) и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, все лежат на одной окружности (так называемой окружности девяти точек).
• Отрезок, проведенный через основания двух любых медиан треугольника, является его (средней линией). Средняя линия треугольника всегда параллельна той стороне треугольника, с которой она не имеет общих точек.
  • Следствие ((теорема Фалеса) о параллельных отрезках). Средняя линия треугольника равна половине длины той стороны треугольника, которой она параллельна.
• (Теркем) доказал (теорему Теркема). Она утверждает, что если окружность девяти точек пересекает стороны треугольника или их продолжения в 3 парах точек (в 3 основаниях соответственно высот и медиан), являющихся основаниями 3 пар чевиан, то, если 3 чевианы для 3 из этих оснований пересекаются в 1 точке (например 3 медианы пересекаются в 1 точке), то 3 чевианы для 3 других оснований также пересекаются в 1 точке (то есть 3 высоты также обязаны пересечься в 1 точке).

Другие свойства

• Если треугольник разносторонний (неравносторонний), то его биссектриса, проведённая из любой вершины, лежит между медианой и (высотой), проведёнными из той же вершины.
• Медиана разбивает треугольник на два (равновеликих) (по площади) треугольника.
• Медиана делит пополам любой отрезок, параллельный стороне, к которой проведена эта медиана.
• Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников. Центры описанных окружностей этих шести треугольников лежат на одной окружности, которая называется (окружностью Ламуна).
• Из отрезков, образующих медианы, можно составить треугольник, площадь которого будет равна 3/4 от всего треугольника. Длины медиан удовлетворяют (неравенству треугольника).
• В (прямоугольном треугольнике) медиана, проведённая из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы.
• Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.
• Отрезок прямой, симметричный или (изогонально сопряжённый) внутренней медиане относительно внутренней биссектрисы, называется (симедианой) треугольника. Три симедианы проходят через одну точку — (точку Лемуана).
• Медиана угла треугольника (изотомически сопряжена) самой себе.

Бесконечно удаленная прямая — трилинейная поляра центроида

• (Трилинейная поляра) центроида (точки пересечения трех медиан) — бесконечно удаленная прямая (см. рис.).

Основные соотношения

Чтобы вычислить длину медианы, когда известны длины сторон треугольника, применяется (теорема Аполлония) (выводится через (теорему Стюарта) или достроением до параллелограмма и использованием равенства в параллелограмме суммы квадратов сторон и суммы квадратов диагоналей):

${\displaystyle m_{a}={\dfrac {1}{2}}{\sqrt {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}},}$

${\displaystyle m_{b}={\dfrac {1}{2}}{\sqrt {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}},}$

${\displaystyle m_{c}={\dfrac {1}{2}}{\sqrt {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}},}$

где ${\displaystyle m_{a},\ m_{b},\ m_{c}}$ — медианы к сторонам треугольника ${\displaystyle a,\ b,\ c}$ соответственно.

В частности, сумма квадратов медиан произвольного треугольника составляет 3/4 от суммы квадратов его сторон:

${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}={\frac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$.

Обратно, можно выразить длину произвольной стороны треугольника через медианы:

${\displaystyle a={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{a}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{c}^{2}}}={\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-4m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{c}^{2}}},}$

${\displaystyle b={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}+2m_{c}^{2}}}={\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{c}^{2}}},}$

${\displaystyle c={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{c}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {2(b^{2}+a^{2})-4m_{c}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{a}^{2}}},}$

где ${\displaystyle m_{a},m_{b},m_{c}}$ — медианы к соответствующим сторонам треугольника, ${\displaystyle a,b,c}$ — стороны треугольника.

Площадь ${\displaystyle S}$ любого треугольника, выраженная через длины его медиан:

${\displaystyle S={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}},}$

где ${\displaystyle \sigma =(m_{a}+m_{b}+m_{c})/2}$ — полусумма длин медиан.

Вариации и обобщение

• (Чевиана) — отрезок в треугольнике, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

См. также

• Биссектриса
• (Высота треугольника)
• (Инцентр)
• (Симедиана)
• Центроид
• (Чевиана)

Примечания

1. Стариков В. Н. 10-е исследование по геометрии (§ До- (пред-)- и пост-чевианы)// Научный рецензируемый электронный журнал МГАУ «Наука и образование». 2020. № 1. 7 с.// http://opusmgau.ru/index.php/see/article/view/ (недоступная ссылка) 1604
2. Дмитрий Ефремов. Новая геометрия треугольника от 25 февраля 2020 на Wayback Machine. — Одесса, 1902. — С. 16.

Литература

• Ефремов Дм. , 1902 год.