Прямая

У этого термина существуют и другие значения, см. (Прямая (значения)).

Запрос «Прямая линия» перенаправляется сюда; о фильме см. (Прямая линия (фильм)).

Пряма́я — одно из фундаментальных понятий евклидовой геометрии. При систематическом изложении геометрии прямые линии обычно принимаются за одно из исходных ((неопределяемых)) понятий, их свойства и связь с другими понятиями (например, точки и (плоскости)) определяются аксиомами геометрии.

Изображение прямых в прямоугольной системе координат

Прямая, наряду с окружностью, относится к числу древнейших геометрических фигур. Античные геометры считали эти две кривые «совершенными» и поэтому признавали только (построения с помощью циркуля и линейки). Евклид описал линию как «длину без ширины», которая «равно лежит на всех своих точках».

Аналоги прямых могут быть определены также в некоторых типах неевклидовых пространств. Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то отрезок прямой можно определить как самую короткую кривую, соединяющую эти точки. Например, в римановой геометрии роль прямых играют (геодезические линии), которые являются кратчайшими; на сфере кратчайшими являются дуги больших кругов.

Свойства прямой в евклидовой геометрии

Участки прямой, ограниченные двумя её точками, называются отрезками.

• Через любую точку можно провести бесконечно много прямых.
• Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.
• Две несовпадающие прямые на (плоскости) или пересекаются в единственной точке, или являются параллельными (следует из предыдущего).
• В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух несовпадающих прямых:
  • прямые пересекаются;
  • прямые параллельны;
  • прямые (скрещиваются).
• Прямая линия — алгебраическая кривая первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).

Уравнения прямой на плоскости

Способы задания прямой:
${\displaystyle y=kx+b,\;{\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1}$ или ${\displaystyle x\cos \theta +y\sin \theta -p=0}$

Общее уравнение прямой

Общее уравнение прямой линии на плоскости в декартовых координатах:

${\displaystyle Ax+By+C=0,}$

где ${\displaystyle A,B}$ и ${\displaystyle C}$ — произвольные постоянные, причём постоянные ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ не равны нулю одновременно.

При ${\displaystyle A=0}$ прямая параллельна оси ${\displaystyle Ox}$, при ${\displaystyle B=0}$ — параллельна оси ${\displaystyle Oy}$.

Вектор с координатами ${\displaystyle (A,B)}$ называется нормальным вектором, он перпендикулярен прямой.

При ${\displaystyle C=0}$ прямая проходит через (начало координат).

Также уравнение можно переписать в виде

${\displaystyle A(x-x_{0})+B(y-y_{0})=0.}$

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение прямой линии, пересекающей ось ${\displaystyle Oy}$ в точке ${\displaystyle (0,\;b)}$ и образующей угол ${\displaystyle \varphi }$ с положительным направлением оси ${\displaystyle Ox}$:

${\displaystyle y=kx+b,\quad k=\mathrm {tg} \,\varphi .}$

Коэффициент ${\displaystyle k}$ называется (угловым коэффициентом) прямой.

В этом виде невозможно представить прямую, параллельную оси ${\displaystyle Oy.}$ (Иногда в этом случае формально говорят, что угловой коэффициент «обращается в бесконечность».)

Получение уравнения прямой в отрезках

Уравнение прямой в отрезках

Уравнение прямой линии, пересекающей ось ${\displaystyle Ox}$ в точке ${\displaystyle (a,\;0)}$ и ось ${\displaystyle Oy}$ в точке ${\displaystyle (0,\;b)}$:

${\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1\quad (a\neq 0,\;b\neq 0).}$

В этом виде невозможно представить прямую, проходящую через начало координат.

Нормальное уравнение прямой

${\displaystyle x\cos \theta +y\sin \theta -p=0,}$

где ${\displaystyle p}$ — длина перпендикуляра, опущенного на прямую из начала координат, а ${\displaystyle \theta }$ — угол (измеренный в положительном направлении) между положительным направлением оси ${\displaystyle Ox}$ и направлением этого перпендикуляра. Если ${\displaystyle p=0}$, то прямая проходит через начало координат, а угол ${\displaystyle \theta =\varphi +{\frac {\pi }{2}}}$ задаёт угол наклона прямой.

Вывод нормального уравнения прямой

Пусть дана прямая ${\displaystyle L.}$ Тогда ${\displaystyle OP\perp L}$ и ${\displaystyle |{\overrightarrow {OP}}|=p.}$ Рассмотрим для этого перпендикуляра его орт ${\displaystyle {\overrightarrow {e_{p}}},|{\overrightarrow {e_{p}}}|=1.}$ Допустим, что угол между ${\displaystyle |{\overrightarrow {e_{p}}}|}$ и осью ${\displaystyle Ox}$ равен ${\displaystyle \theta .}$ Так как ${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,}$ то можно записать: ${\displaystyle {\overrightarrow {e_{p}}}=(\cos \theta ;\sin \theta ).}$ Теперь рассмотрим произвольную точку ${\displaystyle M(x,y).}$ Проведём радиус-вектор ${\displaystyle {\overrightarrow {OM}}=(x,y).}$ Теперь найдём проекцию ${\displaystyle {\overrightarrow {OM}}}$ на вектор ${\displaystyle {\overrightarrow {e_{p}}}.}$ ${\displaystyle ({\overrightarrow {e_{p}}},{\overrightarrow {OM}})=x\cos \theta +y\sin \theta =p.}$ Следовательно, ${\displaystyle x\cos \theta +y\sin \theta -p=0.}$ Это и есть нормальное уравнение прямой. (■)

Если прямая задана общим уравнением ${\displaystyle Ax+By+C=0,}$ то отрезки ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b,}$ отсекаемые ею на осях, угловой коэффициент ${\displaystyle k,}$ расстояние прямой от начала координат ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle \cos \theta }$ и ${\displaystyle \sin \theta }$ выражаются через коэффициенты ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ следующим образом:

${\displaystyle a=-{\frac {C}{A}},\quad b=-{\frac {C}{B}},\quad k=\mathrm {tg} \,\varphi =-{\frac {A}{B}},\quad \varphi =\theta -{\frac {\pi }{2}},}$

${\displaystyle p={\frac {C}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}},\quad \cos \theta ={\frac {A}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}},\quad \sin \theta ={\frac {B}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}}.}$

Во избежание неопределённости знак перед радикалом выбирается так, чтобы соблюдалось условие ${\displaystyle p>0.}$ В этом случае ${\displaystyle \cos \theta }$ и ${\displaystyle \sin \theta }$ являются направляющими косинусами положительной нормали прямой — перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую. Если ${\displaystyle C=0,}$ то прямая проходит через начало координат и выбор положительного направления произволен.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные несовпадающие точки

Уравнение прямой, проходящей через две точки на вещественной плоскости

Если заданы две несовпадающие точки на вещественной плоскости с координатами ${\displaystyle (x_{1},\;y_{1})}$ и ${\displaystyle (x_{2},\;y_{2})}$, то прямая, проходящая через них, задаётся уравнением

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}=0}$

или

${\displaystyle {\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}={\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}$

или в общем виде

${\displaystyle \left(y_{1}-y_{2}\right)x+\left(x_{2}-x_{1}\right)y+\left(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\right)=0.}$

Уравнение прямой, проходящей через две точки на комплексной плоскости

Если заданы две несовпадающие точки на комплексной плоскости ${\displaystyle z_{1}}$ и ${\displaystyle z_{2}}$, то прямая, проходящая через них, задаётся следующим уравнением:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}z&{\bar {z}}&1\\z_{1}&{\bar {z}}_{1}&1\\z_{2}&{\bar {z}}_{2}&1\end{vmatrix}}=0}$

или в одну строку:

${\displaystyle ({\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{2})z+(z_{2}-z_{1}){\bar {z}}+(z_{1}{\bar {z}}_{2}-z_{2}{\bar {z}}_{1})=0.}$

Упростим запись этого уравнения:

${\displaystyle {\bar {p}}z+p{\bar {z}}-2=0}$ (или ${\displaystyle \operatorname {Re} ({\bar {p}}z)=1)}$,

положив

${\displaystyle p=2{\frac {z_{2}-z_{1}}{{\bar {z}}_{1}z_{2}-z_{1}{\bar {z}}_{2}}},}$ ${\displaystyle {\bar {p}}=2{\frac {{\bar {z}}_{2}-{\bar {z}}_{1}}{z_{1}{\bar {z}}_{2}-{\bar {z}}_{1}z_{2}}}.}$

Следовательно, прямая линия полностью определяется выбором комплексного числа ${\displaystyle p}$. Как точка на комплексной плоскости, так и прямая определяются одним вектором или двумя координатами. Комплексное числе ${\displaystyle p}$ называется вектором прямой, а его компоненты называются координатами прямой.

Определим геометрическую природу вектора прямой ${\displaystyle p}$, определяющего просто точку ${\displaystyle P}$ на комплексной плоскости, рассмотрев два его свойства:

• из того, что в определении ${\displaystyle p}$

${\displaystyle p=2{\frac {z_{2}-z_{1}}{{\bar {z}}_{1}z_{2}-z_{1}{\bar {z}}_{2}}}}$

знаменатель есть чисто мнимое комплексное число, следует, что вектор ${\displaystyle p}$ нормален к вектору ${\displaystyle z_{2}-z_{1}}$, то есть нормален к прямой ${\displaystyle z_{1}z_{2};}$

• абсолютная величина знаменателя в определении ${\displaystyle p}$ равна удвоенной площади треугольника ${\displaystyle \triangle Oz_{1}z_{2}}$ с основанием ${\displaystyle z_{1}z_{2}}$, следовательно, абсолютная величина ${\displaystyle p}$ обратно пропорционален длине перпендикуляра, опущенного из начала координат ${\displaystyle O}$ к прямой ${\displaystyle z_{1}z_{2}.}$ Другими словами, точка ${\displaystyle P}$ есть (инверсия) основания этого перпендикуляра.

Получение векторного параметрического уравнения прямой

Векторное параметрическое уравнение прямой

Векторное параметрическое уравнение прямой задается вектором ${\displaystyle {\vec {r}}_{0},}$ конец которого лежит на прямой, и направляющим вектором прямой ${\displaystyle {\vec {u}}.}$ Параметр ${\displaystyle t}$ пробегает все действительные значения.

${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r_{0}}}+t{\vec {u}}.}$

Параметрические уравнения прямой

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны в виде:

${\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+a_{x}t,\\y=y_{0}+a_{y}t,\end{cases}}}$

где ${\displaystyle t}$ — произвольный параметр, ${\displaystyle a_{x},\;a_{y}}$ — координаты ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ направляющего вектора прямой. При этом

${\displaystyle k={\frac {a_{y}}{a_{x}}},\quad a={\frac {a_{y}x_{0}-a_{x}y_{0}}{a_{y}}},\quad b={\frac {a_{x}y_{0}-a_{y}x_{0}}{a_{x}}},}$

${\displaystyle p={\frac {a_{x}y_{0}-a_{y}x_{0}}{\pm {\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}},\quad \cos \theta ={\frac {a_{x}}{\pm {\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}},\quad \sin \theta ={\frac {a_{y}}{\pm {\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}}.}$

Смысл параметра ${\displaystyle t}$ аналогичен параметру в векторно-параметрическом уравнении.

Каноническое уравнение прямой

Каноническое уравнение получается из параметрическиx уравнений делением одного уравнения на другое:

Вывод

${\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+a_{x}t\\y=y_{0}+a_{y}t\end{cases}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}x-x_{0}=a_{x}t\\y-y_{0}=a_{y}t\end{cases}}}$

${\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{y-y_{0}}}={\frac {a_{x}}{a_{y}}}}$

${\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{y-y_{0}}}={\frac {a_{x}}{a_{y}}}\Longleftrightarrow {\frac {x-x_{0}}{a_{x}}}={\frac {y-y_{0}}{a_{y}}}}$

где ${\displaystyle a_{x},a_{y}}$ — координаты ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ направляющего вектора прямой, ${\displaystyle x_{0}}$ и ${\displaystyle y_{0}}$ координаты точки, принадлежащей прямой.

Уравнение прямой в полярных координатах

Уравнение прямой в (полярных координатах) ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle \varphi }$:

${\displaystyle \rho (A\cos \varphi +B\sin \varphi )+C=0}$

или

${\displaystyle \rho \cos(\varphi -\theta )=p.}$

Тангенциальное уравнение прямой

Тангенциальное уравнение прямой на плоскости:

${\displaystyle \xi x+\eta y=1.}$

Числа ${\displaystyle \xi }$ и ${\displaystyle \eta }$ называются её тангенциальными, линейными или (плюккеровыми) координатами.

Уравнения прямой в пространстве

Векторное параметрическое уравнение прямой в пространстве:

${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+t{\vec {a}},\quad t\in (-\infty ,\;+\infty ),}$

где ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$ — радиус-вектор некоторой фиксированной точки ${\displaystyle M_{0},}$ лежащей на прямой, ${\displaystyle {\vec {a}}}$ — ненулевой вектор, (коллинеарный) этой прямой (называемый её направляющим вектором), ${\displaystyle {\vec {r}}}$ — радиус-вектор произвольной точки прямой.

Параметрические уравнения прямой в пространстве:

${\displaystyle x=x_{0}+t\alpha ,\;y=y_{0}+t\beta ,\;z=z_{0}+t\gamma ,\quad t\in (-\infty ,\;+\infty ),}$

где ${\displaystyle (x_{0},\;y_{0},\;z_{0})}$ — координаты некоторой фиксированной точки ${\displaystyle M_{0},}$ лежащей на прямой; ${\displaystyle (\alpha ,\;\beta ,\;\gamma )}$ — (координаты вектора), (коллинеарного) этой прямой.

Каноническое уравнение прямой в пространстве:

${\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{\alpha }}={\frac {y-y_{0}}{\beta }}={\frac {z-z_{0}}{\gamma }},}$

где ${\displaystyle (x_{0},\;y_{0},\;z_{0})}$ — координаты некоторой фиксированной точки ${\displaystyle M_{0},}$ лежащей на прямой; ${\displaystyle (\alpha ,\;\beta ,\;\gamma )}$ — (координаты вектора), (коллинеарного) этой прямой.

Общее векторное уравнение прямой^[] в пространстве:

Поскольку прямая является пересечением двух различных плоскостей, заданных соответственно общими уравнениями:

${\displaystyle ({\vec {r}},\;{\vec {N}}_{1})+D_{1}=0}$ и ${\displaystyle ({\vec {r}},\;{\vec {N}}_{2})+D_{2}=0,}$

то уравнение прямой можно задать системой этих уравнений:

${\displaystyle {\begin{cases}({\vec {r}},\;{\vec {N}}_{1})+D_{1}=0,\\({\vec {r}},\;{\vec {N}}_{2})+D_{2}=0.\end{cases}}}$

Векторное уравнение прямой в пространстве^:196-199:

Уравнение прямой в пространстве можно записать в виде векторного произведения радиуса-вектора произвольной точки этой прямой ${\displaystyle {\vec {r}}}$ на фиксированный направляющий вектор прямой ${\displaystyle {\vec {a}}}$:

${\displaystyle [{\vec {r}},{\vec {a}}]={\vec {M}},}$

где фиксированный вектор ${\displaystyle {\vec {M}}}$, ортогональный вектору ${\displaystyle {\vec {a}}}$, можно найти, подставляя в это уравнение радиус-вектор какой-нибудь одной известной точки прямой.

Взаимное расположение точек и прямых на плоскости

Три точки ${\displaystyle (x_{1},\;y_{1})}$, ${\displaystyle (x_{2},\;y_{2})}$ и ${\displaystyle (x_{3},\;y_{3})}$ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется условие

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}=0.}$

Отклонение точки ${\displaystyle (x_{1},\;y_{1})}$ от прямой ${\displaystyle Ax+By+C=0}$ может быть найдено по формуле

${\displaystyle \delta ={\frac {Ax_{1}+By_{1}+C}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}},}$

где знак перед радикалом противоположен знаку ${\displaystyle C.}$ Отклонение по модулю равно расстоянию между точкой и прямой; оно положительно, если точка и начало координат лежат по разные стороны от прямой, и отрицательно, если по одну сторону.

В пространстве расстояние от точки ${\displaystyle (x_{1},\;y_{1},\;z_{1})}$ до прямой, заданной параметрическим уравнением

${\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+t\alpha ,\\y=y_{0}+t\beta ,\quad t\in \mathbb {R} \\z=z_{0}+t\gamma ,\end{cases}}}$

можно найти как минимальное расстояние от заданной точки до произвольной точки прямой. Коэффициент ${\displaystyle t}$ этой точки может быть найден по формуле

${\displaystyle t_{\min }={\frac {\alpha (x_{1}-x_{0})+\beta (y_{1}-y_{0})+\gamma (z_{1}-z_{0})}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}}}.}$

Взаимное расположение нескольких прямых на плоскости

Две прямые, заданные уравнениями

${\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\quad A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0}$

или

${\displaystyle y=k_{1}x+b_{1},\quad y=k_{2}x+b_{2}}$

пересекаются в точке

${\displaystyle x={\frac {B_{1}C_{2}-B_{2}C_{1}}{A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}}={\frac {b_{1}-b_{2}}{k_{2}-k_{1}}},\quad y={\frac {C_{1}A_{2}-C_{2}A_{1}}{A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}}={\frac {k_{2}b_{1}-k_{1}b_{2}}{k_{2}-k_{1}}}.}$

Угол ${\displaystyle \gamma _{12}}$ между пересекающимися прямыми определяется формулой

${\displaystyle \mathrm {tg} \,\gamma _{12}={\frac {A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}{A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}}}={\frac {k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}}}.}$

При этом под ${\displaystyle \gamma _{12}}$ понимается угол, на который надо повернуть первую прямую (заданную параметрами ${\displaystyle A_{1}}$, ${\displaystyle B_{1}}$, ${\displaystyle C_{1}}$, ${\displaystyle k_{1}}$ и ${\displaystyle b_{1}}$) вокруг точки пересечения против часовой стрелки до первого совмещения со второй прямой.

Эти прямые параллельны, если ${\displaystyle A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}=0}$ или ${\displaystyle k_{1}=k_{2}}$, и перпендикулярны, если ${\displaystyle A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}=0}$ или ${\displaystyle k_{1}=-{\frac {1}{k_{2}}}}$.

Любую прямую, параллельную прямой с уравнением ${\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,}$ можно выразить уравнением ${\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C=0.}$ При этом расстояние между этими прямыми будет равно

${\displaystyle \delta ={\frac {C_{1}-C}{\pm {\sqrt {A_{1}^{2}+B_{1}^{2}}}}};}$

Если же уравнение прямой задано как ${\displaystyle y_{1}=kx_{1}+b_{1}}$, а уравнение прямой параллельной ей ${\displaystyle y=kx+b}$, то расстояние можно вычислить, как

${\displaystyle \delta ={\frac {|b_{1}-b|}{\sqrt {1+k^{2}}}}.}$

Если знак перед радикалом противоположен ${\displaystyle C_{1},}$ то ${\displaystyle \delta }$ будет положительным, когда вторая прямая и начало координат лежат по разные стороны от первой прямой.

Для того, чтобы три прямые

${\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\quad A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0,\quad A_{3}x+B_{3}y+C_{3}=0}$

пересекались в одной точке или были параллельны друг другу, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

${\displaystyle {\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}\\A_{3}&B_{3}&C_{3}\end{vmatrix}}=0.}$

Если ${\displaystyle A_{2}=-B_{1}}$ и ${\displaystyle B_{2}=A_{1}}$, то прямые ${\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0}$ и ${\displaystyle A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0}$ перпендикулярны.

Некоторые специальные типы прямых

• (Прямая Александрова)
• (Прямая Симсона)
• ^[англ.]
• (Прямая Эйлера)
• Числовая прямая

Примечания

1. Coxeter, 1969, p. 4
2. Математическая энциклопедия, 1984, с. 721—722.
3. Прокл Диадох. Комментарий к первой книге «Начал» Евклида / Университет Дмитрия Пожарского. — М., 2013. — С. 116. — 368 с.
4. (Норден А. П.) Краткий курс дифференциальной геометрии. — М.: Физматгиз, 1958. — С. 214—215. — 244 с.
5. Faber, Appendix B, p. 300.
6. Zwikker C. The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications, 1963, Chapter III. The straight line, p. 37.
7. Zwikker C. The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications, 1963, Chapter III. The straight line, p. 38—39.
8. Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторная алгебра в примерах и задачах. — М.: (Высшая школа), 1985. — 232 с. 10 января 2014 года.

Литература

• (Маркушевич А. И.) , Популярные лекции по математике. — Выпуск 4. — (Гостехиздат), 1952 г. — 32 стр.
• Прямая // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4.
• Coxeter, H.S.M (1969), Introduction to Geometry (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 
• Faber, Richard L. (1983), Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry, New York: Marcel Dekker, ISBN 
• Pedoe, Dan (1988), Geometry: A Comprehensive Course, Mineola, NY: Dover, ISBN 
• Wylie, Jr., C.R. (1964), Foundations of Geometry, New York: McGraw-Hill, ISBN 
• ^{[англ.] [англ.]}The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications. New York: Dover Publications, Inc., 1963. 299 p. ISBN 10: 0486610780. ISBN 13: 9780486610788.

Ссылки

• Прямая на плоскости, справочник математических формул «Прикладная математика»
• Прямая в пространстве, справочник математических формул «Прикладная математика»