Метрика (метрическая геометрия)

Не следует путать с метрическим тензором — квадратичной формой, которая задает скалярное произведение.

У этого термина существуют и другие значения, см. Метрика.

У этого термина существуют и другие значения, см. Пространство.

Метри́ческое простра́нство — множество вместе со способом измерения расстояния между его элементами. Является центральным понятием геометрии и топологии.

Определения

Пара ${\displaystyle (M,\;d)}$, состоящая из множества ${\displaystyle M}$ и функции ${\displaystyle d\colon M\times M\to \mathbb {R} }$ из его декартова квадрата в множество вещественных чисел, называется метрическим пространством, если:

1. ${\displaystyle d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y}$ (аксиома тождества);
2. ${\displaystyle d(x,y)\geqslant 0}$ (аксиома положительности);
3. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$ (аксиома симметричности);
4. ${\displaystyle d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)}$ (аксиома треугольника или (неравенство треугольника)).

В этом случае:

• множество ${\displaystyle M}$ называется подлежащим множеством или носителем метрического пространства;
• функция ${\displaystyle d}$ называется метрикой или функцией расстояния;
• элементы множества ${\displaystyle M}$ называются точками метрического пространства.

Замечания

• Требование неотрицательности значений метрики является избыточным, оно следует из аксиом:

  ${\displaystyle 0=d(x,x)\leqslant d(x,y)+d(y,x)=2\cdot d(x,y)}$.

• Если неравенство треугольника представить в виде

  ${\displaystyle d(x,y)\leqslant d(x,z)+d(y,z)}$

тогда из аксиомы тождества и неравенства треугольника следует аксиома симметрии.

• Эти условия выражают интуитивные понятия о концепции расстояния и поэтому называются аксиомами расстояния. Например, что расстояние между различными точками положительно и расстояние от ${\displaystyle x}$ до ${\displaystyle y}$ то же самое, что и расстояние от ${\displaystyle y}$ до ${\displaystyle x}$. Неравенство треугольника означает, что расстояние от ${\displaystyle x}$ до ${\displaystyle z}$ через ${\displaystyle y}$ не меньше, чем прямо от ${\displaystyle x}$ до ${\displaystyle z}$.

Обозначения

Обычно расстояние между точками ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ в метрическом пространстве ${\displaystyle M}$ обозначается ${\displaystyle d(x,y)}$ или ${\displaystyle \rho (x,y)}$.

• В (метрической геометрии) принято обозначение ${\displaystyle |xy|}$ или ${\displaystyle |xy|_{M}}$, если необходимо подчеркнуть, что речь идёт о ${\displaystyle M}$. Также употребляются обозначения ${\displaystyle |x-y|}$ и ${\displaystyle |x-y|_{M}}$ (несмотря на то, что выражение ${\displaystyle x-y}$ для точек ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ не имеет смысла).
• В классической геометрии приняты обозначения ${\displaystyle XY}$ или ${\displaystyle |XY|}$ (точки обычно обозначают заглавными латинскими буквами).

Связанные определения

• Биекция между различными метрическими пространствами ${\displaystyle (X,d_{X})}$ и ${\displaystyle (Y,d_{Y})}$, сохраняющая расстояния, называется изометрией;
  • В этом случае пространства ${\displaystyle (X,d_{X})}$ и ${\displaystyle (Y,d_{Y})}$ называются изометричными.
• Если ${\displaystyle x_{n}\in X}$, ${\displaystyle x\in X}$ и ${\displaystyle d(x_{n},x)\to 0}$ при ${\displaystyle n\to \infty }$, то говорят, что ${\displaystyle x_{n}}$ сходится к ${\displaystyle x}$: ${\displaystyle x_{n}\to x}$.
• Если ${\displaystyle M}$ подмножество множества ${\displaystyle X}$, то, рассматривая сужение ${\displaystyle d_{M}=d_{X}|_{M}}$ метрики ${\displaystyle d_{X}}$ на множество ${\displaystyle M}$, можно получить метрическое пространство ${\displaystyle (M,d_{M})}$, которое называется подпространством пространства ${\displaystyle (X,d)}$.
• Метрическое пространство называется (полным), если любая (фундаментальная последовательность) в нём сходится к некоторому элементу этого пространства.

• Метрика ${\displaystyle d}$ на ${\displaystyle M}$ называется (внутренней), если любые две точки ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ в ${\displaystyle M}$ можно соединить кривой с длиной, произвольно близкой к ${\displaystyle d(x,y)}$.
  • Пространство называется геодезическим если любые две точки ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ в ${\displaystyle M}$ можно соединить кривой с длиной, равной ${\displaystyle d(x,y)}$.
• Любое метрическое пространство обладает естественной топологией, базой для которой служит множество открытых шаров, то есть множеств следующего типа:

${\displaystyle B(x;r)=\{y\in M\mid d(x,y)<r\},}$

где ${\displaystyle x}$ есть точка в ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle r}$ — положительное вещественное число, называемое радиусом шара. Иначе говоря, множество ${\displaystyle O}$ является открытым, если вместе с любой своей точкой оно содержит открытый шар с центром в этой точке.

• Две метрики, определяющие одну и ту же топологию, называются эквивалентными.
• Топологическое пространство, которое может быть получено таким образом, называется (метризируемым).
• Расстояние ${\displaystyle d(x,S)}$ от точки ${\displaystyle x}$ до подмножества ${\displaystyle S}$ в ${\displaystyle M}$ определяется по формуле:

${\displaystyle d(x,S)=\inf\{d(x,s)\mid s\in S\}}$.

Тогда ${\displaystyle d(x,S)=0}$, только если ${\displaystyle x}$ принадлежит (замыканию) ${\displaystyle S}$.

Примеры

• (Дискретная метрика): ${\displaystyle d(x,y)=0}$, если ${\displaystyle x=y}$, и ${\displaystyle d(x,y)=1}$ во всех остальных случаях.
• Вещественные числа с функцией расстояния ${\displaystyle d(x,\;y)=|y-x|}$ и евклидово пространство являются полными метрическими пространствами.
• Расстояние городских кварталов: ${\displaystyle d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=\|\mathbf {p} -\mathbf {q} \|=\sum _{i=1}^{n}|p_{i}-q_{i}|}$, где ${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})}$, ${\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}$ — векторы.
• Пусть ${\displaystyle F(X,Y)}$ — пространство непрерывных и ограниченных отображений из топологического пространства ${\displaystyle X}$ в метрическое пространство ${\displaystyle Y}$. Расстояние между двумя отображениями ${\displaystyle f_{1}}$ и ${\displaystyle f_{2}}$ из этого пространства определяется как

  ${\displaystyle d_{F}(f_{1},f_{2})=\sup\{d_{Y}(f_{1}(x),f_{2}(x))\colon x\in X\}}$.

Сходимость отображений по этой метрике равнозначна их (равномерной сходимости) на всём пространстве ${\displaystyle X}$.

В частном случае, когда ${\displaystyle X}$ — компактное пространство, ${\displaystyle Y}$ — числовая прямая, получается пространство ${\displaystyle C(X)}$ всех непрерывных функций на пространстве ${\displaystyle X}$ с метрикой равномерной сходимости.

• Пусть ${\displaystyle L([a,b])}$, ${\displaystyle R([a,b])}$, ${\displaystyle C([a,b])}$ — пространства функций на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, соответственно интегрируемых по Лебегу, интегрируемых по Риману, и непрерывных. В них расстояние можно определить по формуле:

  ${\displaystyle d(f_{1},f_{2})=\int \limits _{a}^{b}|f_{1}(x)-f_{2}(x)|\,dx.}$

Для того, чтобы эта функция стала метрикой, в первых двух пространствах необходимо отождествить функции, отличающиеся на множестве меры 0. В противном случае эта функция будет всего лишь полуметрикой. (В пространстве функций, непрерывных на отрезке, функции, отличающиеся на множестве меры 0, и так совпадают.)

• В пространстве ${\displaystyle k}$ раз непрерывно дифференцируемых функций ${\displaystyle C^{k}([a,b])}$ метрика вводится по формуле:

  ${\displaystyle d_{k}(f_{1},f_{2})=\max\{d_{0}(f_{1},f_{2}),\;d_{0}(f'_{1},f'_{2}),\;\ldots ,\;d_{0}(f_{1}^{(k)},f_{2}^{(k)})\}}$,

где ${\displaystyle d_{0}}$ — метрика равномерной сходимости на ${\displaystyle C([a,b])}$ (см. выше).

• Любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, определив функцию расстояния

  ${\displaystyle d(x,y)=\|y-x\|}$.

  • Конечномерные пространства такого типа называются (пространством Минковского);
  • В случае размерности, равной двум — (плоскостью Минковского).

• Если ${\displaystyle (p_{n})_{n\in N}}$ является последовательностью полунорм, определяющих ((локально выпуклое)) топологическое векторное пространство ${\displaystyle E}$, то

${\displaystyle d(x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}{\frac {p_{n}(x-y)}{1+p_{n}(x-y)}}}$

является метрикой, определяющей ту же топологию. (Можно заменить ${\displaystyle {\frac {1}{2^{n}}}}$ на любую (суммируемую последовательность) ${\displaystyle (a_{n})}$ строго (положительных чисел).)

• Любое связное риманово многообразие ${\displaystyle M}$ можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как точную нижнюю грань длин путей, соединяющих пару точек.

• Множество вершин любого связного графа ${\displaystyle G}$ можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как минимальное число рёбер в пути, соединяющем вершины. Более общо: если каждому ребру графа приписать положительное число (длину ребра), расстояние между вершинами можно определить как минимальную сумму длин рёбер вдоль любых путей из одной вершины в другую.
  • Частным случаем предыдущего примера является так называемая (французская железнодорожная метрика), которую нередко приводят в качестве примера метрики, не порождённой нормой.
• (Расстояние редактирования графа) определяет функцию расстояния между графами.

• (Расстояние Хэмминга) в теории кодирования.
• ^[англ.], такие как (расстояние Левенштейна) и другие (расстояния редактирования текста) определяют расстояние над строками.

• Множество компактных подмножеств ${\displaystyle K(M)}$ любого метрического пространства ${\displaystyle M}$ можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой (метрики Хаусдорфа). В этой метрике два подмножества близки друг к другу, если для любой точки одного множества можно найти близкую точку в другом подмножестве. Вот точное определение:

${\displaystyle D(X,Y)=\inf \left\{r\;\left|\;{\begin{matrix}\forall x\in X\;\exists y\in Y\colon d(x,y)<r\\\forall y\in Y\;\exists x\in X\colon d(x,y)<r\end{matrix}}\right.\right\}}$.

• Множество всех компактных метрических пространств (с точностью до изометрии) можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой (метрики Громова — Хаусдорфа).
• (Метрика Васерштейна) определяет расстояние между двумя распределениями вероятностей.

Конструкции

• Декартово произведение метрических пространств может быть наделено структурой метрического пространства многими способами, например:
  1. ${\displaystyle d_{X\times Y}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=d_{X}(x_{1},x_{2})+d_{Y}(y_{1},y_{2});}$
  2. ${\displaystyle d_{X\times Y}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))={\sqrt {d_{X}(x_{1},x_{2})^{2}+d_{Y}(y_{1},y_{2})^{2}}};}$
  3. ${\displaystyle d_{X\times Y}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=\max\{d_{X}(x_{1},x_{2}),d_{Y}(y_{1},y_{2})\}.}$

Эти метрики эквивалентны друг другу.

Свойства

• Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда из любой последовательности точек можно выбрать сходящуюся подпоследовательность (секвенциальная компактность).
• Метрическое пространство может не иметь счётной базы, но всегда удовлетворяет (первой аксиоме счётности) — имеет счётную базу в каждой точке.
  • Более того, каждый компакт в метрическом пространстве имеет счётную базу окрестностей.
  • Сверх того, в каждом метрическом пространстве существует такая база, что каждая точка пространства принадлежит лишь счётному множеству её элементов — точечно-счётная база (но это свойство слабее (метризуемости) даже в присутствии паракомпактности и хаусдорфовости).
• метрические пространства с (короткими отображениями) образуют категорию, обычно обозначаемую Met.

Вариации и обобщения

• Для данного множества ${\displaystyle M}$, функция ${\displaystyle d\colon M\times M\to \mathbb {R} }$ называется псевдометрикой или полуметрикой на ${\displaystyle M}$ если для любых точек ${\displaystyle x,\;y,\;z}$ из ${\displaystyle M}$ она удовлетворяет следующим условиям:
  1. ${\displaystyle d(x,x)=0}$;
  2. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$ (симметрия);
  3. ${\displaystyle d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)}$ ((неравенство треугольника)).

То есть, в отличие от метрики, различные точки в ${\displaystyle M}$ могут находиться на нулевом расстоянии. Псевдометрика естественно определяет метрику на факторпространстве ${\displaystyle M/{\sim }}$, где ${\displaystyle x\sim y\iff d(x,y)=0}$.

• Для данного множества ${\displaystyle M}$ функция ${\displaystyle d\colon M\times M\to \mathbb {R} }$ называется квазиметрикой, если для любых точек ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$ из ${\displaystyle M}$ она удовлетворяет следующим условиям:
  1. ${\displaystyle d(x,x)=0}$;
  2. ${\displaystyle d(x,y)\leqslant c\cdot d(y,x)}$ (квазисимметрия);
  3. ${\displaystyle d(x,z)\leqslant c\cdot (d(x,y)+d(y,z))}$ (обобщённое неравенство треугольника).
• Метрика на пространстве называется (ультраметрикой), если она удовлетворяет сильному неравенству треугольника:

  Для всех ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle z}$ в ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d(x,z)\leqslant \max(d(x,y),d(y,z))}$.

• Иногда удобно рассматривать ${\displaystyle \infty }$-метрики, то есть метрики со значениями ${\displaystyle [0;\infty ]}$. Для любой ${\displaystyle \infty }$-метрики можно построить конечную метрику, которая определяет ту же топологию. Например,

  ${\displaystyle d'(x,y)={\frac {d(x,y)}{1+d(x,y)}}}$ или ${\displaystyle d''(x,y)=\min {(1,d(x,y))}.}$

Также, для любой точки ${\displaystyle x}$ такого пространства, множество точек, находящихся от неё на конечном расстоянии, образует обычное метрическое пространство, называемое метрической компонентой ${\displaystyle x}$. В частности, любое пространство с ${\displaystyle \infty }$-метрикой можно рассматривать как набор обычных метрических пространств и определить расстояние между любой парой точек в разных пространствах равным ${\displaystyle \infty }$.

• Иногда квазиметрика определяется как функция, удовлетворяющая всем аксиомам для метрики за возможным исключением симметрии. Название этого обобщения не вполне устоялось. В своей книге Смит называет их «полуметриками». Тот же термин используется часто также для двух других обобщений метрик.
  1. ${\displaystyle d(x,y)\geqslant 0}$ (положительность)
  2. ${\displaystyle d(x,y)=0\iff x=y}$ (положительная определённость)
  3. d(x, y)=d(y, x) (симметрия вычеркнута)
  4. ${\displaystyle d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)}$ (неравенство треугольника)

Примеры квазиметрики встречаются в реальной жизни. Например, если дано множество ${\displaystyle X}$ горных сёл, время прогулки между элементами ${\displaystyle X}$ образует квазиметрику, поскольку восхождение вверх занимает больше времени, чем спуск вниз. Другим примером является топология (городских кварталов), имеющих улицы с односторонним движением, когда путь из точки ${\displaystyle A}$ в точку ${\displaystyle B}$ состоит из различного набора улиц по сравнению с путём из ${\displaystyle B}$ в ${\displaystyle A}$.

• В метаметрике все аксиомы метрики выполняются, за исключением того, что расстояние между идентичными точками не обязательно равно нулю. Другими словами, аксиомами для метаметрики являются:
  1. ${\displaystyle d(x,y)\geqslant 0}$
  2. из ${\displaystyle d(x,y)=0}$ следует ${\displaystyle x=y}$ (но не наоборот.)
  3. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$
  4. ${\displaystyle d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)}$.

Метаметрики появляются при изучении (гиперболических метрических пространств Громова) и их границ. Визуальная метаметрика на таком пространстве удовлетворяет равенству ${\displaystyle d(x,x)=0}$ для точек ${\displaystyle x}$ на границе, но в противном случае ${\displaystyle d(x,x)}$ примерно равно расстоянию от ${\displaystyle x}$ до границы. Метаметрики первым определил Юсси Вяйсяля.

• Ослабление последних трёх аксиом ведёт к понятию преметрики, то есть функции, удовлетворяющей условиям:
  1. ${\displaystyle d(x,y)\geqslant 0}$
  2. ${\displaystyle d(x,x)=0}$

Термин не устоялся, иногда он используется для обобщения других метрик, таких как псевдополуметрики или псевдометрики. В русскоязычной литературе (и в переводах с русского) этот термин иногда появляется как «праметрика».

Любая преметрика приводит к топологии следующим образом. Для положительного вещественного ${\displaystyle r}$ определяется ${\displaystyle r}$-шар с центром в точке ${\displaystyle p}$ как

${\displaystyle B_{r}(p)=\{x\mid d(x,p)<r\}}$. Множество называется открытым, если для любой точки ${\displaystyle p}$ в множестве существует ${\displaystyle r}$-шар с центром в ${\displaystyle p}$, который содержится в множестве. Любое преметрическое пространство является топологическим пространством и, фактически, . В общем случае сами ${\displaystyle r}$-шары не обязаны быть открытыми множествами согласно этой топологии. Как и для метрик, расстояние между двумя множествами ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ определяется как

${\displaystyle d(A,B)=\inf _{x\in A,\;y\in B}d(x,y)}$.

Это определяет преметрику на булеане преметрического пространства. Если мы начинаем с (псевдополу-)метрического пространства, мы получим псевдополуметрику, то есть, симметричную преметрику. Любая преметрика приводит к ^[англ.]${\displaystyle \operatorname {cl} }$:

${\displaystyle \operatorname {cl} (A)=\{x\mid d(x,A)=0\}}$.

• Префиксы псевдо-, квази- и полу- могут комбинироваться, например, псевдоквазиметрика (иногда называемая гемиметрикой) ослабляет как аксиому неразличимости, так и аксиому симметрии, и является просто преметрикой, удовлетворяющей неравенству треугольника. Для псевдоквазиметрических пространств открытые ${\displaystyle r}$-шары образуют базис открытых множеств. Простейшим примером псевдоквазиметрического пространства служит множество ${\displaystyle \{0,1\}}$ с преметрикой, задаваемой функцией ${\displaystyle d}$, такой что ${\displaystyle d(0,1)=1}$ и ${\displaystyle d(1,0)=0}$. Ассоциированное топологическое пространство является (пространством Серпинского).

Множества, оснащённые расширенной псевдоквазиметрикой, изучал (Уильям Ловер) как «обобщённые метрические пространства». С категорной точки зрения расширенные псевдометрические пространства и расширенные псевдоквазиметрические пространства вместе с их соответствующими (нерасширяющимися отображениями) лучше всего ведут себя на категориях метрических пространств. Можно взять произвольные произведения и (копроизведения) и образовать (фактор-объект) с данной категорией. Если опустить слово «расширенная», можно взять только конечные произведения и копроизведения. Если опустить «псевдо», нельзя будет получить фактор-объекты. ^[англ.] являются обобщением метрических пространств, учитывающим эти хорошие категориальные свойства.

• Линейное пространство ${\displaystyle V(F)}$ называется линейным метрическим пространством, если в нём задано расстояние между его элементами и алгебраические операции непрерывны в его метрике, т. е.:
  1. ${\displaystyle x_{n}\to x,y_{n}\to y\Rightarrow x_{n}+y_{n}\to x+y}$
  2. ${\displaystyle x_{n}\to x,\lambda _{n}\to \lambda \Rightarrow \lambda _{n}x_{n}\to \lambda x}$
  • Пример: Линейное пространство всех комплексных последовательностей можно превратить в линейное метрическое пространство при помощи введения расстояния между его элементами с помощью формулы:

    ${\displaystyle d(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}{\frac {|x_{i}-y_{i}|}{1+|x_{i}-y_{i}|}}}$

• (Гиперметрическое пространство) — метрическое пространство в котором выполнены гиперметрические неравенства. То есть,

  ${\displaystyle \sum _{i<j}b_{i}\cdot b_{j}\cdot |x_{i}-x_{j}|\leq 0}$

для любых точек ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ и целых чисел ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$ таких, что ${\displaystyle \sum b_{i}=1}$.

• Заметим, что при ${\displaystyle b_{1}=b_{2}=1}$ и ${\displaystyle b_{3}=-1}$, гиперметрическое неравенство преврящается в обычное неравенство треугольника

${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|-|x_{1}-x_{3}|-|x_{2}-x_{3}|\leq 0.}$

• Пример гиперметрического пространства: ${\displaystyle \ell _{1}}$-пространство.

История

(Морис Фреше) впервые ввёл понятие метрического пространства в связи с рассмотрением функциональных пространств.

Примечания

1. Математическая энциклопедия, 1982, с. 658.
2. (Кудрявцев Л. Д.) Математический анализ. II том. — М., (Высшая школа), 1970. — с. 296
3. (Крейн С. Г.) Функциональный анализ. — М., Наука, 1972. — с. 22-24
4. Steen, Seebach, 1995.
5. Smyth, 1987, с. 236–253.
6. Rolewicz, 1987.
7. Väisälä, 2005, с. 187–231.
8. Булдыгин, Козаченко, 1998.
9. Хелемский, 2004.
10. Архангельский, Федорчук, 1988, с. 30.
11. Pereira, Aldrovandi, 1995.
12. Lawvere, 2002, с. 1–37.
13. Vickers, 2005, с. 328–356.
14. M. M. Deza, M. Laurent, Geometry of cuts and metrics, Algorithms and Combinatorics, 15, Springer-Verlag, Berlin, 1997.
15. Fréchet M. Sur quelques points du calcul fonctionnel. — Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. — 1906. — 22. — pp. 1—74.

Литература

• Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии. — 2004. — .
• Васильев Н. Метрические пространства. — (Квант). — 1990. — № 1.
• Васильев Н. Метрические пространства. — (Квант). — 1970. — № 10.
• Метрика // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — 1184 с.
• Скворцов В. А. Примеры метрических пространств // Библиотека «Математическое просвещение» от 12 января 2014 на Wayback Machine. — 2001. — Выпуск 9.
• Шрейдер Ю. А. Что такое расстояние? // «(Популярные лекции по математике)». — М.: Физматгиз, 1963 г. — Выпуск 38. — 76 с.
• (2002), "Metric spaces, generalized logic, and closed categories" (PDF), Reprints in Theory and Applications of Categories (1): 1—37, MR 1925933; reprinted with added commentary from Lawvere, F. William (1973), "Metric spaces, generalized logic, and closed categories", Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano, 43: 135–166 (1974), doi:10.1007/BF02924844, MR 0352214
• Ruben Aldrovandi, J. G. Pereira. An introduction to geometrical physics : [англ.]. — Singapore : World Scientific, 1995. — 699 с. — . — .
• Rolewicz, Stefan (1987), Functional Analysis and Control Theory: Linear Systems, , ISBN 
• Smyth, M. (1987), "Quasi uniformities: reconciling domains with metric spaces", in Main, M.; Melton, A.; Mislove, M.; Schmidt, D. (eds.), 3rd Conference on Mathematical Foundations of Programming Language Semantics, Lecture Notes in Computer Science, vol. 298, Springer-Verlag, pp. 236—253, doi:10.1007/3-540-19020-1_12
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], , (Dover), ISBN , MR 0507446
• Väisälä, Jussi (2005), "Gromov hyperbolic spaces" (PDF), Expositiones Mathematicae, 23 (3): 187—231, doi:10.1016/j.exmath.2005.01.010, MR 2164775
• Vickers, Steven (2005), "Localic completion of generalized metric spaces, I", Theory and Applications of Categories, 14 (15): 328—356, MR 2182680 от 26 апреля 2021 на Wayback Machine
• (Архангельский А. В.), (Федорчук В. В.) Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Том 17. — (ВИНИТИ), 1988. — 232 с.
• Булдыгин В. В., Козаченко Ю. В. Метрические характеристики случайных величин и процессов. — К. : ТВіМС, 1998. — 290 с.
• Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу (рус.). — Москва: (МЦНМО), 2004. — .

Ссылки

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Metric space", Encyclopedia of Mathematics, , ISBN 
• Far and near — several examples of distance functions at (cut-the-knot).