Норма́ль в геометрии — обобщение понятия перпендикуляра к прямой или (плоскости) на произвольные гладкие кривые и поверхности.
![image](https://www.wikidata.ru-ru.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEucnUtcnUubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODJMelptTDBaeVpXNWxkQzV3Ym1jdk1qY3djSGd0Um5KbGJtVjBMbkJ1Wnc9PS5wbmc=.png)
Нормаль к кривой в заданной её точке — прямая, перпендикулярная к (касательной прямой) в указанной точке кривой. Плоская гладкая кривая имеет в каждой точке единственную нормаль, расположенную в той же плоскости. Пространственная кривая в каждой своей точке имеет бесконечное множество нормалей, формирующих так называемую (нормальную плоскость). Две из этих нормалей выделяются особо: нормаль, лежащая в (соприкасающейся плоскости), называется (главной нормалью), а нормаль, перпендикулярная к соприкасающейся плоскости, называется (бинормалью).
Нормаль к поверхности в заданной её точке — прямая, перпендикулярная к (касательной плоскости) в указанной точке поверхности. Нормаль для гладкой поверхности определяется однозначно.
Понятие нормали может быть легко распространено на (многомерные многообразия). Кроме геометрии, нормали широко используются в геометрической оптике, механике, при создании трёхмерной компьютерной графики, в (теории потенциала) и в других естественных науках.
Вектор нормали
![image](https://www.wikidata.ru-ru.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEucnUtcnUubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWhMMkU0TDA1dmNtMWhiRjkyWldOMGIzSnpYMjl1WDJGZlkzVnlkbVZrWDNOMWNtWmhZMlV1YzNabkx6SXlNSEI0TFU1dmNtMWhiRjkyWldOMGIzSnpYMjl1WDJGZlkzVnlkbVZrWDNOMWNtWmhZMlV1YzNabkxuQnVadz09LnBuZw==.png)
Вектор нормали (или орт нормали) к поверхности в данной точке — (единичный вектор), приложенный к данной точке и параллельный направлению нормали. Для каждой точки гладкой поверхности можно задать два нормальных вектора, отличающихся направлением. Аналогично определяются векторы нормали к пространственной кривой в данной точке; среди них, соответственно сказанному выше, выбирают два, ортогональных друг к другу: вектор главной нормали и вектор бинормали.
Поверхность называется двусторонней, если на всей её протяжённости она обладает (непрерывным) полем векторов нормали. В противном случае поверхность называют односторонней или неориентируемой. Ориентированной называется двусторонняя поверхность с выбранным направлением нормали.
Примерами односторонних и, следовательно, неориентируемых поверхностей являются (бутылка Клейна) или лист Мёбиуса.
Нормаль к пространственной кривой
Пусть — векторное уравнение кривой. Тогда направление главной нормали может быть получено как двойное векторное произведение:
В случае (естественной параметризации) кривой (её длиной дуги) орт главной нормали равен
.
Векторное уравнение бинормали в точке имеет вид:
Уравнение нормальной плоскости в точке :
Нормаль к плоской кривой
Для плоской кривой содержащая её плоскость совпадает с соприкасающейся. Нормаль, с точностью до знака, только одна — главная, и её уравнение в точке имеет следующий вид.
Способ задания плоской кривой | Уравнение кривой | Уравнение нормали |
---|---|---|
Параметрическое задание | ||
Явное задание | ||
Неявное задание |
Нормаль к поверхности
В дифференциальной геометрии исследуемые поверхности обычно подчинены условиям, связанным с возможностью применения методов дифференциального исчисления. Как правило, это — условия гладкости поверхности, то есть существования в каждой точке поверхности определённой (касательной) плоскости, кривизны и т. д. Эти требования сводятся к тому, что функции, задающие поверхность, предполагаются однократно, дважды, трижды, а в некоторых вопросах — неограниченное число раз дифференцируемыми или даже (аналитическими функциями). При этом дополнительно накладывается условие регулярности (см. статью Поверхность). Примером точки поверхности, где нормаль не определена, является вершина конуса — в ней не существует касательной плоскости.
Координаты орта нормали для разных способов задания поверхности приведены в таблице:
Координаты нормали в точке поверхности | |
---|---|
параметрическое задание: | |
неявное задание: | |
явное задание: |
Здесь . Все производные берутся в точке
. Из формул видно, что в случае неявного задания направление нормали к функции
совпадает с направлением её градиента.
Сечение поверхности плоскостью, содержащей нормаль поверхности в заданной точке, образует некоторую кривую, которая называется нормальным сечением поверхности. (Главная нормаль) для нормального сечения совпадает с нормалью к поверхности (с точностью до знака).
Если же кривая на поверхности не является нормальным сечением, то её главная нормаль образует с нормалью поверхности некоторый угол . Тогда кривизна
кривой связана с кривизной
нормального сечения (с той же касательной) (формулой Мёнье):
Кривизна нормального сечения в заданной точке зависит от направления этого сечения; если кривизна не постоянна, то максимум и минимум достигаются в двух взаимно перпендикулярных направлениях, называемых главными направлениями. На сфере, на торцах эллипсоида и т. п. кривизна постоянна, и все направления — главные.
Примечания
- Математическая энциклопедия, 1982, с. 1049—1050.
- Нормаль // Математический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 416. — 847 с.
- Рашевский, 1956, с. 146.
- Погорелов, 1974, с. 125—126.
- Погорелов, 1974, с. 132—133.
Литература
- Нормаль // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
- Погорелов А. И. Дифференциальная геометрия. — 6-е изд. — М.: Наука, 1974. — 176 с.
- (Рашевский П. К.) Курс дифференциальной геометрии. — 4-е изд. — М.: ГИТТЛ, 1956.
Ссылки
- Нормаль // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
Википедия, чтение, книга, библиотека, поиск, нажмите, истории, книги, статьи, wikipedia, учить, информация, история, скачать, скачать бесплатно, mp3, видео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, картинка, музыка, песня, фильм, игра, игры, мобильный, телефон, Android, iOS, apple, мобильный телефон, Samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Сеть, компьютер