Площадь плоской фигуры — аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество (единичных квадратов), площадь равна числу квадратов.
Об определении
Формальное введение понятия площадь и объём можно найти в статье (мера Жордана), здесь мы приводим лишь намётки определения с комментариями.
Площадь — это вещественнозначная функция, определённая на определённом классе фигур евклидовой плоскости и удовлетворяющая четырём условиям:
- Положительность — площадь неотрицательна;
- Нормировка — квадрат со стороной единица имеет площадь 1;
- (Конгруэнтность) — конгруэнтные фигуры имеют равную площадь;
- Аддитивность — площадь объединения двух фигур без общих внутренних точек равна сумме площадей.
При этом определённый класс должен быть замкнут относительно пересечения и объединения, а также относительно движений плоскости и включать в себя все многоугольники. Из этих аксиом следует (монотонность) площади, то есть
- Если одна фигура принадлежит другой фигуре, то площадь первой не превосходит площади второй:
Чаще всего за «определённый класс» берут множество квадрируемых фигур. Фигура называется квадрируемой, если для любого
существует пара многоугольников
и
, такие что
и
, где
обозначает площадь
.
- Примеры квадрируемых фигур
- многоугольники;
- любая фигура, ограниченная (спрямляемой кривой), в частности круг;
- фигура, ограниченная (снежинкой Коха), хотя её граница не спрямляема.
Связанные определения
- Две фигуры называются равновеликими, если они имеют равную площадь.
Комментарии
- Существует математически строгий, но неоднозначный способ определить площадь для всех ограниченных подмножеств плоскости. То есть на множестве всех ограниченных подмножеств плоскости существуют различные функции площади, удовлетворяющие вышеприведённым аксиомам, а множество квадрируемых фигур является максимальным множеством фигур, на которых площадь определяется однозначно.
- То же самое можно сделать для длины на прямой, но нельзя для (объёма) в евклидовом пространстве и также нельзя для площади на единичной сфере в евклидовом пространстве (смотри соответственно (парадокс удвоения шара) и (парадокс Хаусдорфа)).
Формулы
![image](https://www.wikidata.ru-ru.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEucnUtcnUubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWlMMkk1TDBGeVpXRXVjM1puTHpJd01IQjRMVUZ5WldFdWMzWm5MbkJ1Wnc9PS5wbmc=.png)
Фигура | Формула | Комментарий |
---|---|---|
Правильный треугольник | ||
Треугольник | (Формула Герона). | |
Треугольник | ||
Треугольник | ||
Квадрат | ||
Прямоугольник | ||
Ромб | ||
Параллелограмм | ||
Трапеция | ||
Четырёхугольник | ||
(Правильный шестиугольник) | ||
Правильный восьмиугольник | ||
Правильный многоугольник | ||
Произвольный многоугольник | (Формула площади Гаусса). | |
Круг | ||
(Сектор круга) | ||
Эллипс |
См. также
- (Исчезновение клетки)
- (Мера Бореля)
- (Мера Жордана)
- Мера Лебега
- (Ориентированная площадь)
- Площадь
- Площадь поверхности
- (Теорема Бойяи — Гервина) о равносоставленности равновеликих многоугольников
- Треугольник о площадях треугольников
- (Четырехугольник) о площадях четырехугольников
Литература
- (В. Болтянский), О понятиях площади и объёма. от 5 мая 2017 на Wayback Machine (Квант), № 5, 1977
- (Б. П. Гейдман), Площади многоугольников от 10 июня 2017 на Wayback Machine, , выпуск 16, (2002).
- §§ 244—276 в А. П. Киселёв. "(Геометрия по Киселёву)". arXiv:1806.06942 [math.HO].
- Мерзон Г. А., Ященко И. В. Длина, площадь, объем. — МЦНМО, 2011. — .
- (В. А. Рохлин), Площадь и объём от 11 апреля 2021 на Wayback Machine, Энциклопедия элементарной математики, Книга 5, Геометрия, под редакцией П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина.
Википедия, чтение, книга, библиотека, поиск, нажмите, истории, книги, статьи, wikipedia, учить, информация, история, скачать, скачать бесплатно, mp3, видео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, картинка, музыка, песня, фильм, игра, игры, мобильный, телефон, Android, iOS, apple, мобильный телефон, Samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Сеть, компьютер