Правильный n-мерный многогранник — многогранники n-мерного евклидова пространства, которые являются наиболее симметричными в некотором смысле. Правильные трёхмерные многогранники называются также платоновыми телами.
История
Классификация правильных многомерных многогранников была получена (Людвигом Шлефли).
Определение
Флагом n-мерного многогранника называется набор его граней , где есть -мерная грань многогранника Р, причем для .
Правильный n-мерный многогранник — это выпуклый n-мерный многогранник , у которого для любых двух его флагов и найдётся движение , переводящее в .
Классификация
Размерность 4
Существует 6 правильных четырёхмерных многогранников (многоячейников):
Название | Изображение (диаграмма Шлегеля) | Символ Шлефли | Ячейка | Число ячеек | Число граней | Число рёбер | Число вершин |
---|---|---|---|---|---|---|---|
(Пятиячейник) | {3,3,3} | правильный тетраэдр | 5 | 10 | 10 | 5 | |
(Тессеракт) | {4,3,3} | куб | 8 | 24 | 32 | 16 | |
(Шестнадцатиячейник) | {3,3,4} | правильный тетраэдр | 16 | 32 | 24 | 8 | |
(Двадцатичетырёхячейник) | {3,4,3} | (октаэдр) | 24 | 96 | 96 | 24 | |
(Стодвадцатиячейник) | {5,3,3} | додекаэдр | 120 | 720 | 1200 | 600 | |
(Шестисотячейник) | {3,3,5} | правильный тетраэдр | 600 | 1200 | 720 | 120 |
Размерности 5 и выше
В каждой из более высоких размерностей существует по 3 правильных многогранника ((политопа)):
Название | Символ Шлефли |
---|---|
n-мерный правильный симплекс | {3;3;...;3;3} |
n-мерный (гиперкуб) | {4;3;...;3;3} |
n-мерный (гипероктаэдр) | {3;3;...;3;4} |
Геометрические свойства
Углы
Двугранный угол между (n-1)-мерными смежными гранями правильного n-мерного многогранника, заданного своим символом Шлефли , определяется по формуле:
где — половина угла между (n-1)-мерными смежными гранями правильного n-мерного многогранника
Радиусы, объёмы
Радиус вписанной N-мерной сферы:
где — радиус вписанной (N-1)-мерной сферы грани.
Объём N-мерного многогранника:
где — объём (N-1)-мерной грани, — количество (N-1)-мерных граней.
Замощения
В размерности n = 4
- [англ.]
- [англ.]
- [англ.]
В размерности n ≥ 5
- (Гиперкубические соты)
См. также
- Платоново тело
- (Список правильных многогранников и соединений)
Примечания
- Schläfli, L. (1901). "Theorie der vielfachen Kontinuität". Denkschriften der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft. 38: 1–237.
- Sommerville D.M.Y. An Introduction to the Geometry of n Dimensions. — London, 1929. — С. 189. — 196 с.
- Coxeter H.S.M. Regular Polytoopes. — London, 1948. — С. 134. — 321 с. 5 мая 2016 года.
- Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. — Наука, 1966. — С. 193.
Ссылки
- Наглядный пример на YouTube
- Regular Polytopes (Platonic solids) in 4D (2003). Дата обращения: 30 января 2011. Архивировано из оригинала 4 мая 2012 года.
- Е. Ю. Смирнов. Группы отражений и правильные многогранники. — М.: МЦНМО, 2009. — 48 с. — .
- Э. Б. Винберг, О. В. Шварцман. Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления. — 1988. — Т. 29. — С. 147–259.
Для улучшения этой статьи по математике :
|
Википедия, чтение, книга, библиотека, поиск, нажмите, истории, книги, статьи, wikipedia, учить, информация, история, скачать, скачать бесплатно, mp3, видео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, картинка, музыка, песня, фильм, игра, игры, мобильный, телефон, Android, iOS, apple, мобильный телефон, Samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Сеть, компьютер