Теле сный у гол часть пространства которая является объединением всех лучей выходящих из данной точки вершины угла и пер
Телесный угол
Теле́сный у́гол — часть пространства, которая является объединением всех (лучей), выходящих из данной точки (вершины угла) и пересекающих некоторую поверхность (которая называется поверхностью, стягивающей данный телесный угол). Частными случаями телесного угла являются трёхгранные и (многогранные углы). Границей телесного угла является некоторая (коническая поверхность). Обозначается телесный угол обычно буквой Ω.
Произвольный телесный угол
Телесный угол измеряется отношением площади той части сферы с центром в вершине угла, которая вырезается этим телесным углом, к квадрату радиуса сферы:
Телесный угол равный одному стерадиану
Двойственный телесный угол к данному телесному углу Ω определяется как угол, состоящий из лучей, образующих с любым лучом угла Ω неострый угол.
Единицы телесного угла
Телесные углы измеряются отвлечёнными (безразмерными) величинами. Единицей измерения телесного угла в системе СИ является (стерадиан), равный телесному углу, вырезающему из сферы радиуса r поверхность с площадью r2. Кроме стерадианов, телесный угол может измеряться в квадратных градусах, квадратных минутах и квадратных секундах, а также в долях полного телесного угла. Полная сфера образует телесный угол, равный 4π стерадиан (полный телесный угол), для вершины, расположенной внутри сферы, в частности, для центра сферы; таким же является телесный угол, под которым видна любая замкнутая поверхность из точки, полностью охватываемой этой поверхностью, но не принадлежащей ей. Полный телесный угол иногда называют спат (англ.spat).
π/(2×180×60×60)² ≈ ≈ 1,87042315⋅10−12 полного угла
Полный угол =
4π ≈ ≈ 12,5663706 стерадиан
(2×180)²/π ≈ ≈ 41252,96125 кв. градусов
(2×180×60)²/π ≈ ≈ 1,48511066⋅108 кв. минут
(2×180×60×60)²/π ≈ ≈ 5,34638378⋅1011 кв. секунд
1
Вычисление телесных углов
Для произвольной стягивающей поверхности S телесный угол Ω, под которым она видна из начала координат, равен
где — (сферические координаты) элемента поверхности — его радиус-вектор, — единичный вектор, нормальный к
Свойства телесных углов
Полный телесный угол (полная сфера) равен 4π стерадиан.
Сумма всех телесных углов, двойственных к внутренним телесным углам выпуклого многогранника, равна полному углу.
Величины некоторых телесных углов
Треугольник с координатами вершин , , виден из начала координат под телесным углом
где — (смешанное произведение) данных векторов, — скалярные произведения соответствующих векторов, полужирным шрифтом обозначены векторы, нормальным шрифтом — их длины. Используя эту формулу, можно вычислять телесные углы, стянутые произвольными многоугольниками с известными координатами вершин (для этого достаточно разбить многоугольник на непересекающиеся треугольники).
Телесный угол при вершине прямого кругового конуса с углом раствора α равен Если известны радиус основания и высота конуса, то Когда угол раствора конуса мал, (угол выражен в радианах), или (угол выражен в градусах). Так, телесный угол, под которым с Земли видны Луна и Солнце (их угловой диаметр примерно равен 0,5°), составляет около 6⋅10−5 стерадиан, или ≈0,0005 % площади небесной сферы (то есть полного телесного угла).
Телесный угол (двугранного угла) в стерадианах равен удвоенному значению двугранного угла в радианах.
Телесный угол (трёхгранного угла) выражается по (теореме Люилье) через его плоские углы при вершине, как:
где — полупериметр.
Через двугранные углы телесный угол выражается как:
Телесный угол при вершине куба (или любого другого (прямоугольного параллелепипеда)) равен полного телесного угла, или стерадиан.
Телесный угол, под которым видна грань правильного N-гранника из его центра, равна полного телесного угла, или стерадиан.
Телесный угол при вершине наклонного кругового конуса Телесный угол, под которым виден круг радиусом R из произвольной точки пространства (то есть телесный угол при вершине произвольного кругового конуса, не обязательно прямого) вычисляется с использованием полных (эллиптических интегралов) 1-го и 3-го рода:
при
при
где и — полные нормальные эллиптические интегралы Лежандра и рода, соответственно;
— расстояние от центра основания конуса до проекции вершины конуса на плоскость основания;
Van Oosterom A., Strackee J. The Solid Angle of a Plane Triangle (англ.) // IEEE Transactions on Biomedical Engineering. — 1983. — Vol. 30. — P. 125—126. — ISSN0018-9294. — doi:10.1109/TBME.1983.325207. — PMID6832789. [исправить]
Weisstein E. W.Solid Angle. From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
Gardner R.P., Verghese K. On the solid angle subtended by a circular disc (англ.) // Nuclear Instruments and Methods. — 1971. — Vol. 93. — P. 163—167. — doi:10.1016/0029-554X(71)90155-8. — (Bibcode): 1971NucIM..93..163G. [исправить]
Tele snyj u gol chast prostranstva kotoraya yavlyaetsya obedineniem vseh luchej vyhodyashih iz dannoj tochki vershiny ugla i peresekayushih nekotoruyu poverhnost kotoraya nazyvaetsya poverhnostyu styagivayushej dannyj telesnyj ugol Chastnymi sluchayami telesnogo ugla yavlyayutsya tryohgrannye i mnogogrannye ugly Granicej telesnogo ugla yavlyaetsya nekotoraya konicheskaya poverhnost Oboznachaetsya telesnyj ugol obychno bukvoj W Proizvolnyj telesnyj ugol Telesnyj ugol izmeryaetsya otnosheniem ploshadi toj chasti sfery s centrom v vershine ugla kotoraya vyrezaetsya etim telesnym uglom k kvadratu radiusa sfery W SR2 displaystyle Omega S over R 2 dd Telesnyj ugol ravnyj odnomu steradianu Dvojstvennyj telesnyj ugol k dannomu telesnomu uglu W opredelyaetsya kak ugol sostoyashij iz luchej obrazuyushih s lyubym luchom ugla W neostryj ugol Edinicy telesnogo uglaTelesnye ugly izmeryayutsya otvlechyonnymi bezrazmernymi velichinami Edinicej izmereniya telesnogo ugla v sisteme SI yavlyaetsya steradian ravnyj telesnomu uglu vyrezayushemu iz sfery radiusa r poverhnost s ploshadyu r 2 Krome steradianov telesnyj ugol mozhet izmeryatsya v kvadratnyh gradusah kvadratnyh minutah i kvadratnyh sekundah a takzhe v dolyah polnogo telesnogo ugla Polnaya sfera obrazuet telesnyj ugol ravnyj 4p steradian polnyj telesnyj ugol dlya vershiny raspolozhennoj vnutri sfery v chastnosti dlya centra sfery takim zhe yavlyaetsya telesnyj ugol pod kotorym vidna lyubaya zamknutaya poverhnost iz tochki polnostyu ohvatyvaemoj etoj poverhnostyu no ne prinadlezhashej ej Polnyj telesnyj ugol inogda nazyvayut spat angl spat Telesnyj ugol imeet nulevuyu fizicheskuyu razmernost Koefficienty pereschyota edinic telesnogo ugla W displaystyle Omega Steradian sr Kv gradus Kv minuta Kv sekunda Polnyj ugol spat 1 steradian 1 180 p 3282 806 kv gradusov 180 60 p 1 1818103 107 kv minut 180 60 60 p 4 254517 1010 kv sekund 1 4p 0 07957747 polnogo ugla1 kv gradus p 180 3 0461742 10 4 steradian 1 60 3600 kv minut 60 60 12 960 000 kv sekund p 2 180 2 424068 10 5 polnogo ugla1 kv minuta p 180 60 8 461595 10 8 steradian 1 60 2 7777778 10 4 kv gradusov 1 60 3600 kv sekund p 2 180 60 6 73352335 10 9 polnogo ugla1 kv sekunda p 180 60 60 2 35044305 10 11 steradian 1 60 60 7 71604938 10 8 kv gradusov 1 60 2 7777778 10 4 kv minut 1 p 2 180 60 60 1 87042315 10 12 polnogo uglaPolnyj ugol 4p 12 5663706 steradian 2 180 p 41252 96125 kv gradusov 2 180 60 p 1 48511066 108 kv minut 2 180 60 60 p 5 34638378 1011 kv sekund 1Vychislenie telesnyh uglovDlya proizvolnoj styagivayushej poverhnosti S telesnyj ugol W pod kotorym ona vidna iz nachala koordinat raven W SdW Ssin ϑdfdϑ S r r ndSr2 displaystyle Omega int limits S d Omega iint limits S sin vartheta d varphi d vartheta int limits S frac mathbf r r cdot mathbf n dS r 2 gde r ϑ f displaystyle r vartheta varphi sfericheskie koordinaty elementa poverhnosti dS displaystyle dS r displaystyle mathbf r ego radius vektor n displaystyle mathbf n edinichnyj vektor normalnyj k dS displaystyle dS Svojstva telesnyh uglovPolnyj telesnyj ugol polnaya sfera raven 4p steradian Summa vseh telesnyh uglov dvojstvennyh k vnutrennim telesnym uglam vypuklogo mnogogrannika ravna polnomu uglu Velichiny nekotoryh telesnyh uglovTreugolnik s koordinatami vershin r1 displaystyle mathbf r 1 r2 displaystyle mathbf r 2 r3 displaystyle mathbf r 3 viden iz nachala koordinat pod telesnym uglomW 2arctg r1r2r3 r1r2r3 r1 r2 r3 r2 r3 r1 r3 r1 r2 displaystyle Omega 2 mathrm arctg frac left vert mathbf r 1 mathbf r 2 mathbf r 3 right vert r 1 r 2 r 3 mathbf r 1 cdot mathbf r 2 r 3 mathbf r 2 cdot mathbf r 3 r 1 mathbf r 3 cdot mathbf r 1 r 2 dd gde r1r2r3 displaystyle mathbf r 1 mathbf r 2 mathbf r 3 smeshannoe proizvedenie dannyh vektorov ri rj displaystyle mathbf r i cdot mathbf r j skalyarnye proizvedeniya sootvetstvuyushih vektorov poluzhirnym shriftom oboznacheny vektory normalnym shriftom ih dliny Ispolzuya etu formulu mozhno vychislyat telesnye ugly styanutye proizvolnymi mnogougolnikami s izvestnymi koordinatami vershin dlya etogo dostatochno razbit mnogougolnik na neperesekayushiesya treugolniki Telesnyj ugol pri vershine pryamogo krugovogo konusa s uglom rastvora a raven W 2p 1 cos a2 displaystyle Omega 2 pi left 1 cos frac alpha 2 right Esli izvestny radius osnovaniya R displaystyle R i vysota H displaystyle H konusa to W 2p 1 HR2 H2 displaystyle Omega 2 pi left 1 frac H sqrt R 2 H 2 right Kogda ugol rastvora konusa mal W pa24 displaystyle Omega approx frac pi alpha 2 4 ugol a displaystyle alpha vyrazhen v radianah ili W 0 000239a2 displaystyle Omega approx 0 000239 alpha 2 ugol a displaystyle alpha vyrazhen v gradusah Tak telesnyj ugol pod kotorym s Zemli vidny Luna i Solnce ih uglovoj diametr primerno raven 0 5 sostavlyaet okolo 6 10 5 steradian ili 0 0005 ploshadi nebesnoj sfery to est polnogo telesnogo ugla Telesnyj ugol dvugrannogo ugla v steradianah raven udvoennomu znacheniyu dvugrannogo ugla v radianah Telesnyj ugol tryohgrannogo ugla vyrazhaetsya po teoreme Lyuile cherez ego ploskie ugly 8a 8b 8c displaystyle theta a theta b theta c pri vershine kak W 4arctg tg 8s2 tg 8s 8a2 tg 8s 8b2 tg 8s 8c2 displaystyle Omega 4 operatorname arctg sqrt operatorname tg left frac theta s 2 right operatorname tg left frac theta s theta a 2 right operatorname tg left frac theta s theta b 2 right operatorname tg left frac theta s theta c 2 right gde 8s 8a 8b 8c2 displaystyle theta s frac theta a theta b theta c 2 poluperimetr dd Cherez dvugrannye ugly a b g displaystyle alpha beta gamma telesnyj ugol vyrazhaetsya kak W a b g p displaystyle Omega alpha beta gamma pi dd Telesnyj ugol pri vershine kuba ili lyubogo drugogo pryamougolnogo parallelepipeda raven 18 displaystyle frac 1 8 polnogo telesnogo ugla ili p2 displaystyle frac pi 2 steradian Telesnyj ugol pod kotorym vidna gran pravilnogo N grannika iz ego centra ravna 1N displaystyle frac 1 N polnogo telesnogo ugla ili 4pN displaystyle frac 4 pi N steradian Telesnyj ugol pri vershine naklonnogo krugovogo konusa Telesnyj ugol pod kotorym viden krug radiusom R iz proizvolnoj tochki prostranstva to est telesnyj ugol pri vershine proizvolnogo krugovogo konusa ne obyazatelno pryamogo vychislyaetsya s ispolzovaniem polnyh ellipticheskih integralov 1 go i 3 go roda W 2p 2HL r Rr RP a2 k K k displaystyle Omega 2 pi frac 2H L left frac r R r R Pi alpha 2 k K k right pri r R displaystyle r leq R W 2HL r Rr RP a2 k K k displaystyle Omega frac 2H L left frac r R r R Pi alpha 2 k K k right pri r gt R displaystyle r gt R dd gde K k displaystyle K k i P a2 k displaystyle Pi alpha 2 k polnye normalnye ellipticheskie integraly Lezhandra 1 go i 3 go roda sootvetstvenno r displaystyle r rasstoyanie ot centra osnovaniya konusa do proekcii vershiny konusa na ploskost osnovaniya H displaystyle H vysota konusa L H2 r R 2 displaystyle L sqrt H 2 r R 2 dlina maksimalnoj obrazuyushej konusa k 4rRL displaystyle k frac sqrt 4rR L a 4rRr R displaystyle alpha frac sqrt 4rR r R dd dd LiteraturaHopf H Selected Chapters of Geometry ETH Zurich lecture pp 1 2 1940 Van Oosterom A Strackee J The Solid Angle of a Plane Triangle angl IEEE Transactions on Biomedical Engineering 1983 Vol 30 P 125 126 ISSN 0018 9294 doi 10 1109 TBME 1983 325207 PMID 6832789 ispravit Weisstein E W Solid Angle From MathWorld A Wolfram Web Resource Gardner R P Verghese K On the solid angle subtended by a circular disc angl Nuclear Instruments and Methods 1971 Vol 93 P 163 167 doi 10 1016 0029 554X 71 90155 8 Bibcode 1971NucIM 93 163G ispravit Sm takzheMediafajly na Vikisklade Ugol Dvugrannyj ugol Tryohgrannyj ugol Mnogogrannyj ugolPrimechaniyaGrabovski B Spravochnik po elektronike rus Per s fr A V Havanov 2 e izd ispr M DMK Press 2009 S 18 416 s Paxton F Solid Angle Calculation for a Circular Disk angl Review of Scientific Instruments 1959 April vol 30 no 4 P 254 258 doi 10 1063 1 1716590 Bibcode 1959RScI 30 254P 7 avgusta 2017 goda