Шар

У этого термина существуют и другие значения, см. Шар (значения).

Шар — геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением (полукруга) (или круга) вокруг его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара, а оба конца указанного диаметра — полюсами шара. Поверхность шара называется сферой: замкнутый шар включает эту сферу, открытый шар — исключает.

Шар

Поверхность шара — сфера
r — радиус шара

Связанные определения

Если секущая плоскость проходит через центр шара, то сечение шара называется большим кругом. Другие плоские сечения шара называются малыми кругами. Площадь этих сечений вычисляется по формуле πR².

Основные геометрические формулы

Площадь поверхности ${\displaystyle S}$ и (объём) ${\displaystyle V}$ шара радиуса ${\displaystyle r}$ (и диаметром ${\displaystyle d=2r}$) определяются формулами:

• ${\displaystyle S=\ 4\pi r^{2}}$

• ${\displaystyle S=\ \pi d^{2}}$

• ${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$

Доказательство

Возьмём четверть круга радиуса R с центром в точке ${\displaystyle \left(0;0\right)}$. Уравнение окружности этого круга : ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}}$, откуда ${\displaystyle y^{2}=R^{2}-x^{2}}$.

Функция ${\displaystyle y={\sqrt {R^{2}-x^{2}}},x\in (0;R)}$ непрерывная, убывающая, неотрицательная. При вращении четверти круга вокруг оси Ox образуется полушар, следовательно:

${\displaystyle {1 \over 2}V=\pi \int \limits _{0}^{R}(R^{2}-x^{2})dx=\pi \cdot {\Bigl .}\left(R^{2}x-{\frac {x^{3}}{3}}\right){\Bigr |}_{0}^{R}=\pi \cdot (R^{3}-{\frac {R^{3}}{3}})={\frac {2}{3}}\pi R^{3}}$

Откуда ${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi R^{3}}$ (Ч. т. д.)

• ${\displaystyle V={\frac {\pi d^{3}}{6}}}$

Доказательство

${\displaystyle d=2r,V={4 \over 3}\pi r^{3}={4 \over 3}\pi \left({d \over 2}\right)^{3}={4 \over 3}\pi {\frac {d^{3}}{8}}={\frac {\pi d^{3}}{6}}}$ Ч. т. д.

Понятие шара в метрическом пространстве естественно обобщает понятие (шара) в евклидовой геометрии.

Определения

Пусть дано метрическое пространство ${\displaystyle (X,\rho )}$. Тогда

• Шаром (или открытым шаром) с центром в точке ${\displaystyle x_{0}\in X}$ и радиусом ${\displaystyle r>0}$ называется множество

${\displaystyle B_{r}(x_{0})=\{x\in X\mid \rho (x,x_{0})<r\}.}$

• Замкнутым шаром с центром в ${\displaystyle x_{0}}$ и радиусом ${\displaystyle r}$ называется множество

${\displaystyle D_{r}(x_{0})=\{x\in X\mid \rho (x,x_{0})\leqslant r\}.}$

Замечания

Шар радиуса ${\displaystyle r}$ с центром ${\displaystyle x_{0}}$ также называют ${\displaystyle r}$-окрестностью точки ${\displaystyle x_{0}}$.

Свойства

• Шар является открытым множеством в топологии, порождённой метрикой ${\displaystyle \rho }$.
• Замкнутый шар — замкнутым множеством в топологии, порождённой метрикой ${\displaystyle \rho }$.
• По определению такой топологии открытые шары с центрами в любой точке ${\displaystyle X}$ являют собой её базу.
• Очевидно, ${\displaystyle B_{r}(x_{0})\subset D_{r}(x_{0})}$. Однако, вообще говоря, (замыкание) открытого шара может не совпадать с замкнутым шаром: ${\displaystyle {\overline {B_{r}(x_{0})}}\neq D_{r}(x_{0}).}$
  • Например: пусть ${\displaystyle (X,\rho )}$ — (дискретное метрическое пространство), и ${\displaystyle X}$ состоит из более, чем двух точек. Тогда для любого ${\displaystyle x\in X}$ имеем:

${\displaystyle B_{1}(x)=\{x\},\;{\overline {B_{1}(x)}}=\{x\},\;D_{1}(x)=X.}$

Объём

Объём n-мерного шара радиуса R в n-мерном евклидовом пространстве:

${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}R^{n},}$

где Γ — это эйлеровская (гамма-функция) (которая является расширением (факториала) на поле действительных и (комплексных чисел)). Используя частные представления гамма-функции для целых и (полуцелых) значений, можно получить формулы объёма n-мерного шара, которые не требуют гамма-функции:

${\displaystyle V_{2k}(R)={\frac {\pi ^{k}}{k!}}R^{2k}}$,

${\displaystyle V_{2k+1}(R)={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{(2k+1)!!}}R^{2k+1}={\frac {2(k!)(4\pi )^{k}}{(2k+1)!}}R^{2k+1}}$.

Знаком !! здесь обозначен (двойной факториал).

Эти формулы также можно свести в одну общую:

${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {2^{\left[{\frac {n+1}{2}}\right]}\pi ^{\left[{\frac {n}{2}}\right]}}{n!!}}R^{n}}$.

Обратная функция для выражения зависимости радиуса от объёма:

${\displaystyle R_{n}(V)={\frac {\Gamma (n/2+1)^{1/n}}{\sqrt {\pi }}}V^{1/n}}$.

Эта формула также может быть разделена на две: для пространств с чётным и нечётным количеством размерностей, используя факториал и двойной факториал вместо гамма-функции:

${\displaystyle R_{2k}(V)={\frac {(k!V)^{1/2k}}{\sqrt {\pi }}}}$,

${\displaystyle R_{2k+1}(V)=\left({\frac {(2k+1)!!V}{2^{k+1}\pi ^{k}}}\right)^{1/(2k+1)}}$.

Рекурсия

Формулу объёма также можно выразить в виде рекурсивной функции. Эти формулы могут быть доказаны непосредственно или выведены из основной формулы, представленной выше. Проще всего выразить объём n-мерного шара через объём шара размерности ${\displaystyle n-2}$ (при условии, что они имеют одинаковый радиус):

${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {2\pi R^{2}}{n}}V_{n-2}(R)}$.

Также существует формула объёма n-мерного шара в зависимости от объёма (n−1)-мерного шара того же радиуса:

${\displaystyle V_{n}(R)=R{\sqrt {\pi }}{\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}V_{n-1}(R)}$.

То же без гамма-функции:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{2k}(R)&=R\pi {\frac {(2k-1)!!}{2^{k}k!}}V_{2k-1}(R)=R\pi {\frac {(2k-1)(2k-3)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}{(2k)(2k-2)\cdots 6\cdot 4\cdot 2}}V_{2k-1}(R),\\V_{2k+1}(R)&=2R{\frac {2^{k}k!}{(2k+1)!!}}V_{2k}(R)=2R{\frac {(2k)(2k-2)\cdots 6\cdot 4\cdot 2}{(2k+1)(2k-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}V_{2k}(R).\end{aligned}}}$

Пространства младших размерностей

Формулы объёма для некоторых пространств младших размерностей:

Кол-во измерений	Объём шара радиуса R	Радиус шара объёма V
1	${\displaystyle 2R}$	${\displaystyle V/2}$
2	${\displaystyle \pi R^{2}}$	${\displaystyle {\frac {V^{1/2}}{\sqrt {\pi }}}}$
3	${\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}R^{3}}$	${\displaystyle \left({\frac {3V}{4\pi }}\right)^{1/3}}$
4	${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{2}}R^{4}}$	${\displaystyle {\frac {(2V)^{1/4}}{\sqrt {\pi }}}}$
5	${\displaystyle {\frac {8\pi ^{2}}{15}}R^{5}}$	${\displaystyle \left({\frac {15V}{8\pi ^{2}}}\right)^{1/5}}$
6	${\displaystyle {\frac {\pi ^{3}}{6}}R^{6}}$	${\displaystyle {\frac {(6V)^{1/6}}{\sqrt {\pi }}}}$
7	${\displaystyle {\frac {16\pi ^{3}}{105}}R^{7}}$	${\displaystyle \left({\frac {105V}{16\pi ^{3}}}\right)^{1/7}}$
8	${\displaystyle {\frac {\pi ^{4}}{24}}R^{8}}$	${\displaystyle {\frac {(24V)^{1/8}}{\sqrt {\pi }}}}$
9	${\displaystyle {\frac {32\pi ^{4}}{945}}R^{9}}$	${\displaystyle \left({\frac {945V}{32\pi ^{4}}}\right)^{1/9}}$
10	${\displaystyle {\frac {\pi ^{5}}{120}}R^{10}}$	${\displaystyle {\frac {(120V)^{1/10}}{\sqrt {\pi }}}}$

Пространства старших размерностей

Объём гипершара размерности n единичного радиуса в зависимости от n.

При стремлении количества размерностей к бесконечности объём шара единичного радиуса стремится к нулю. Это может быть выведено из рекурсивного представления формулы объёма.

Примеры

• Пусть ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ — евклидово пространство с обычным евклидовым расстоянием. Тогда

• если ${\displaystyle d=1}$ (пространство — прямая), то

${\displaystyle B_{r}(x_{0})=\{x\in \mathbb {R} \mid |x-x_{0}|<r\}=\left(x_{0}-{r},x_{0}+{r}\right),}$

${\displaystyle D_{r}(x_{0})=\{x\in \mathbb {R} \mid |x-x_{0}|\leq r\}=\left[x_{0}-{r},x_{0}+{r}\right].}$

 — открытый и замкнутый отрезок соответственно.

• если ${\displaystyle d=2}$ (пространство — (плоскость)), то

  ${\displaystyle B_{r}((x_{0},y_{0}))=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}<r\right\},}$

  ${\displaystyle D_{r}((x_{0},y_{0}))=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}\leq r\right\}}$

 — открытый и замкнутый диск соответственно.

• если ${\displaystyle d=3}$, то

  ${\displaystyle B_{r}((x_{0},y_{0},z_{0}))=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}}}<r\right\},}$

  ${\displaystyle D_{r}((x_{0},y_{0},z_{0}))=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}}}\leq r\right\}}$

 — открытый и замкнутый (стереометрический шар) соответственно.

• В иных метриках шар может иметь иную геометрическую форму. Например, определим в евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ метрику следующим образом:

  ${\displaystyle \rho (x,y)=\sum \limits _{i=1}^{d}\|x_{i}-y_{i}\|,\quad x=(x_{1},\ldots ,x_{d})^{\top },y=(y_{1},\ldots ,y_{d})^{\top }\in \mathbb {R} ^{d}.}$

Тогда

• если ${\displaystyle d=2}$, то ${\displaystyle U_{r}(x_{0})}$ — это открытый квадрат с центром в точке ${\displaystyle x_{0}}$ и сторонами длины ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, расположенными по диагонали к координатным осям.
• если ${\displaystyle d=3}$, то ${\displaystyle U_{r}(x_{0})}$ — это открытый трёхмерный (октаэдр).

См. также

• (Шаровой слой)
• (Гиперсфера)
• (Сферический слой)

Примечания

1. Equation 5.19.4, NIST Digital Library of Mathematical Functions. http://dlmf.nist.gov/ от 10 июня 2010 на Wayback Machine, Release 1.0.6 of 2013-05-06.

Литература

• Шар, геометрическое тело // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

Ссылки на онлайн калькуляторы

•   (неопр.). Дата обращения: 12 марта 2012. Архивировано из оригинала 8 августа 2011 года.
•   (неопр.). Дата обращения: 2 июля 2019. Архивировано из оригинала 9 января 2019 года.
•   (неопр.). Дата обращения: 20 октября 2011. Архивировано из оригинала 18 октября 2011 года. Мультфильм про объём шара