Перпендикуля́рность (от лат. perpendicularis — букв. отвесный) — бинарное отношение между различными объектами (векторами, прямыми, подпространствами и т. д.).
Для обозначения перпендикулярности имеется общепринятый символ: ⊥, предложенный в 1634 году французским математиком (Пьером Эригоном). Например, перпендикулярность прямых и записывают как .
На плоскости
Перпендикулярные прямые на плоскости
Две прямые на плоскости называются перпендикулярными, если при пересечении они образуют 4 прямых угла.
Про прямую перпендикулярную к прямой
проведённую через точку
вне прямой
, говорят, что
есть перпендикуляр опущенный из
на
. Если же точка
лежит на прямой
, то говорят, что
есть перпендикуляр к восстановленный из
к
(устаревший термин восставленный).
В координатах
В аналитическом выражении прямые, заданные линейными функциями
и
будут перпендикулярны, если выполнено следующее условие на их угловые коэффициенты
Построение перпендикуляра
![image](https://www.wikidata.ru-ru.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEucnUtcnUubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODNMemRqTDFCbGNuQmxibVJwWTNWc1lYSXRZMjl1YzNSeWRXTjBhVzl1TG5OMlp5OHlNakJ3ZUMxUVpYSndaVzVrYVdOMWJHRnlMV052Ym5OMGNuVmpkR2x2Ymk1emRtY3VjRzVuLnBuZw==.png)
Шаг 1: С помощью циркуля проведём полуокружность с центром в точке P, получив точки А и В.
Шаг 2: Не меняя радиуса, построим две полуокружности с центром в точках A и В соответственно, проходящими через точку P. Кроме точки P есть ещё одна точка пересечения этих полуокружностей, назовём её Q.
Шаг 3: Соединяем точки P и Q. PQ и есть перпендикуляр к прямой AB.
Координаты точки основания перпендикуляра к прямой
Пусть прямая задаётся точками и
. На прямую опускается перпендикуляр из точки
. Тогда основание перпендикуляра
можно найти следующим образом.
Если (вертикаль), то
и
. Если
(горизонталь), то
и
.
Во всех остальных случаях:
;
.
В трёхмерном пространстве
Перпендикулярные прямые
Две прямые в пространстве перпендикулярны друг другу, если они соответственно параллельны некоторым двум другим взаимно перпендикулярным прямым, лежащим в одной плоскости. Две прямые, лежащие в одной плоскости, называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла.
Перпендикулярность прямой к плоскости
Определение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна всем прямым, лежащим в этой плоскости.
Признак: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.
Перпендикулярные плоскости
Две плоскости называются перпендикулярными, если (двугранный угол) между ними равен 90°.
- Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
- Если из точки, принадлежащей одной из двух перпендикулярных плоскостей, провести перпендикуляр к другой плоскости, то этот перпендикуляр полностью лежит в первой плоскости.
- Если в одной из двух перпендикулярных плоскостей провести перпендикуляр к их линии пересечения, то этот перпендикуляр будет перпендикулярен второй плоскости.
- Плоскость, перпендикулярная двум пересекающимся плоскостям, перпендикулярна их линии пересечения.
В многомерных пространствах
В разделе не хватает (см. ). |
Перпендикулярность плоскостей в 4-мерном пространстве
Перпендикулярность плоскостей в четырёхмерном пространстве имеет два смысла: плоскости могут быть перпендикулярны в 3-мерном смысле, если они пересекаются по прямой (а следовательно, лежат в одной (гиперплоскости)), и двугранный угол между ними равен 90°.
Плоскости могут быть также перпендикулярны в 4-мерном смысле, если они пересекаются в точке (а следовательно, не лежат в одной гиперплоскости), и любые 2 прямые, проведённые в этих плоскостях через точку их пересечения (каждая прямая в своей плоскости), перпендикулярны.
В 4-мерном пространстве через данную точку можно провести ровно 2 взаимно перпендикулярные плоскости в 4-мерном смысле (поэтому 4-мерное евклидово пространство можно представить как декартово произведение двух плоскостей). Если же объединить оба вида перпендикулярности, то через данную точку можно провести 6 взаимно перпендикулярных плоскостей (перпендикулярных в любом из двух вышеупомянутых значений).
Существование шести взаимно перпендикулярных плоскостей можно пояснить таким примером. Пусть дана система декартовых координат x y z t. Для каждой пары координатных прямых существует плоскость, включающая эти две прямые. Количество таких пар равно : xy, xz, xt, yz, yt, zt, и им соответствуют 6 плоскостей. Те из этих плоскостей, которые включают одноимённую ось, перпендикулярны в 3-мерном смысле и пересекаются по прямой (например, xy и xz, yz и zt), а те, которые не включают одноимённых осей, перпендикулярны в 4-мерном смысле и пересекаются в точке (например, xy и zt, yz и xt).
Перпендикулярность прямой и гиперплоскости
Пусть задано n-мерное евклидово пространство (n>2) и ассоциированное с ним векторное пространство
, а прямая l с направляющим векторным пространством
и (гиперплоскость)
с направляющим векторным пространством
(где
,
) принадлежат пространству
.
Прямая l называется перпендикулярной гиперплоскости , если подпространство
ортогонально подпространству
, то есть
Вариации и обобщения
- В теории (инверсии) вводятся: окружность или прямая, перпендикулярные к окружности
.
- В теории окружностей и (инверсии) две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными (перпендикулярными). Окружности можно считать ортогональными, если они образуют прямой угол друг с другом. Обычно угол между кривыми — это угол между их касательными, проведенными в точке их пересечения.
- В теории (инверсии) прямая перпендикулярна к окружности
, если она проходит через центр последней.
См. также
- Нормаль
- Параллельность
- (Ортогональность)
- (Высота)
- (Теорема о трёх перпендикулярах)
Примечания
- Словарь иностранных слов. — М.: «(Русский язык)», 1989. — 624 с.
- (А. П. Киселёв). (Элементарная геометрия) / под редакцией (Н. А. Глаголева). — 1938.
- (Александров А.Д.), Вернер А. Л., Рыжик В.И. Стереометрия. Геометрия в пространстве. — Висагинас: Alfa, 1998. — С. 46. — 576 с. — (Библиотека школьника). — .
Википедия, чтение, книга, библиотека, поиск, нажмите, истории, книги, статьи, wikipedia, учить, информация, история, скачать, скачать бесплатно, mp3, видео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, картинка, музыка, песня, фильм, игра, игры, мобильный, телефон, Android, iOS, apple, мобильный телефон, Samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Сеть, компьютер