Аксиомы отделимости

Аксиомы отделимости — наборы дополнительных требований, налагаемых на топологические пространства, позволяющие изучать ограниченные классы топологических пространств со свойствами в той или иной степени близкими к метрическим пространствам. На предположении выполнения аксиом отделимости основано применение такой техники математического доказательства, как принцип разделимости.

Аксиомы

Введено множество аксиом отделимости, наиболее широко используемых — шесть, обозначаемые соответственно T₀, T₁, T₂, T₃, T_3½, T₄ (от нем. Trennungsaxiom); кроме того, иногда используются другие аксиомы и их вариации (R₀, R₁, T_2½, T₅, T₆ и другие).

T₀

T₀ (аксиома Колмогорова): для любых двух различных точек ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ по крайней мере одна точка должна иметь , не содержащую вторую точку.

T₁

T₁ (аксиома (Тихонова)): для любых двух различных точек ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ должна существовать окрестность точки ${\displaystyle x}$, не содержащая точку ${\displaystyle y}$, и окрестность точки ${\displaystyle y}$, не содержащая точку ${\displaystyle x}$. Эквивалентное условие: все одноточечные множества замкнуты.

T₂

T₂ (аксиома Хаусдорфа, хаусдорфово пространство): для любых двух различных точек ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ должны найтись непересекающиеся окрестности ${\displaystyle U(x)}$ и ${\displaystyle V(y)}$.

T₃

T₃: Для любого замкнутого множества и не содержащейся в нём точки существуют их непересекающиеся окрестности. Эквивалентное условие: для любой точки ${\displaystyle x}$ и её окрестности ${\displaystyle U}$ существует окрестность ${\displaystyle V}$, такая, что ${\displaystyle x\in V\subset {\bar {V}}\subset U}$. Иногда в определение аксиомы отделимости T₃ включают требования аксиомы отделимости T₁. Также иногда в определении регулярного пространства не включается требование аксиомы T₁. Регулярное пространство — пространство, удовлетворяющие аксиомам T₁ и T₃.

T_3½

T_3½: для любого замкнутого множества ${\displaystyle F}$ и не содержащейся в нём точки ${\displaystyle a}$ существует непрерывная (в данной топологии) числовая функция ${\displaystyle f(x)}$, заданная на этом пространстве, принимающая значения от ${\displaystyle 0}$ до ${\displaystyle 1}$ на всем пространстве, причем ${\displaystyle f(a)=0}$ и ${\displaystyle f(x)=1}$ для всех ${\displaystyle x}$, принадлежащих ${\displaystyle F}$. Пространства, удовлетворяющие аксиомам T₁ и T_3½ называются вполне регулярными пространствами или тихоновскими пространствами; при этом иногда выполнение T₁ включают в определение T_3½, а в определении вполне регулярного пространства не включают требование аксиомы T₁ (тогда в определение тихоновского пространства она включается).

T₄

T₄: для любых двух замкнутых непересекающихся множеств существуют их непересекающиеся окрестности. Эквивалентное условие: для любого замкнутого множества ${\displaystyle F}$ и его окрестности ${\displaystyle U}$ существует окрестность ${\displaystyle V}$, такая, что ${\displaystyle F\subset V\subset {\bar {V}}\subset U}$ (${\displaystyle {\bar {V}}}$ — (замыкание) ${\displaystyle V}$). Нормальное пространство — пространства, удовлетворяющие T₁ и T₄. Иногда в определение T₄ включают требование выполнения T₁, а в определении нормального пространства не включается требование T₁.

Свойства

Некоторые соотношения аксиом отделимости и связанных с ними классов друг с другом:

• ${\displaystyle T_{0}}$, ${\displaystyle T_{1}}$ и ${\displaystyle T_{2}}$ не следуют из остальных аксиом (если в их определение не включается аксиома ${\displaystyle T_{1}}$);
• из ${\displaystyle T_{1}}$ следует ${\displaystyle T_{0}}$;
• регулярные пространства являются хаусдорфовыми;
• вполне регулярные пространства являются регулярными;
• нормальные пространства являются также и вполне регулярными;
• компактные хаусдорфовы пространства являются нормальными.

Примечания

1. Виро, Иванов, Харламов, Нецветаев, с.105
2. математическая энциклопедия
3. Энгелькинг, с.71
4. Келли, с.154
5. Энгелькинг, с.73
6. Виро, Иванов, Харламов, Нецветаев, с.106
7. Энгелькинг, с.74
8. Келли, с.153

Литература

• О. Я. Виро, О. А. Иванов, В. М. Харламов и Н. Ю. Нецветаев Задачный учебник по топологии
• Энгелькинг Р. Общая топология: Пер. с англ. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
• Келли, Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1968.
• И. М. Виноградов. Отделимости аксиома // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985. — статья из математической энциклопедии, автор — В. И. Зайцев