Теорема (Безу) утверждает, что остаток от деления многочлена на (двучлен) равен .
Предполагается, что коэффициенты многочлена содержатся в некотором коммутативном кольце с единицей (например, в поле вещественных или комплексных чисел).
Доказательство
Поделим с остатком многочлен на двучлен
:
где — остаток. Так как
, то
— многочлен степени не выше 0, то есть константа, обозначим её за
. Подставляя
, поскольку
, имеем
.
Следствия
- Число
является (корнем многочлена)
тогда и только тогда, когда
делится без остатка на двучлен
(отсюда, в частности, следует, что множество корней многочлена
тождественно множеству корней соответствующего уравнения
).
- Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).
- Пусть
— целый корень (приведённого многочлена)
с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого
число
кратно
.
Приложения
Теорема Безу и следствия из неё позволяют легко находить рациональные корни полиномиальных уравнений с рациональными коэффициентами.
См. также
- (Основная теорема алгебры)
Литература
- Винберг Э. Б. Курс алгебры, — М.: Издательство «Факториал Пресс», 2002, .
- Piotr Rudnicki (2004). "Little Bézout Theorem (Factor Theorem)" (PDF). Formalized Mathematics. 12 (1): 49–58.
Для улучшения этой статьи по математике :
|
Википедия, чтение, книга, библиотека, поиск, нажмите, истории, книги, статьи, wikipedia, учить, информация, история, скачать, скачать бесплатно, mp3, видео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, картинка, музыка, песня, фильм, игра, игры, мобильный, телефон, Android, iOS, apple, мобильный телефон, Samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Сеть, компьютер