Алгебраическая кривая, или плоская алгебраическая кривая, — это, в простейшем случае, множество двух переменных. Степенью, или порядком, алгебраической кривой называется степень этого многочлена.
![image](https://www.wikidata.ru-ru.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEucnUtcnUubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODFMelV6TDFSelkyaHBjbTVvWVhWelpXNWZZM1ZpYVdNdWMzWm5Mek13TUhCNExWUnpZMmhwY201b1lYVnpaVzVmWTNWaWFXTXVjM1puTG5CdVp3PT0ucG5n.png)
Например, единичная окружность, задающаяся уравнением , является алгебраической кривой второй степени, поскольку совпадает с множеством нулей многочлена .
Плоские алгебраические кривые с первой по восьмую степень соответственно называют прямыми, кониками, кубиками, квартиками, пентиками, секстиками, септиками и октиками. В алгебраической геометрии также рассматривают не только вещественные нули многочленов, но и комплексные. Более того, многочлены могут рассматриваться над произвольными полями.
Так, обобщенная плоская аффинная алгебраическая кривая над полем определяется как множество тех пар из , где — алгебраическое замыкание поля , которые являются корнями многочлена от двух переменных с коэффициентами в . Такие пары называются точками этой кривой. Те точки кривой, каждая координата которых лежит в , называются -точками, а множество -точек называется -частью кривой.
Например, точка принадлежит рассмотренной выше единичной окружности, однако не принадлежит её вещественной -части. Кроме того, многочлен задаёт алгебраическую кривую, вещественная часть которой пуста. Тем не менее, сама кривая не является пустой.
Также в алгебраической геометрии рассматривают более общие алгебраические кривые, которые содержатся не обязательно в двумерных, а в пространствах с большим числом измерений, и также в проективных пространствах.
Оказывается, многие свойства алгебраической кривой не зависят от выбора конкретного вложения в некоторое пространство, что приводит к следующему общему определению алгебраической кривой.
Алгебраическая кривая — это алгебраическое многообразие (размерности) 1. Иными словами, алгебраическая кривая — это алгебраическое многообразие, каждое алгебраическое подмногообразие которого является одноточечным.
Примеры алгебраических кривых
Рациональные кривые
Рациональная кривая, также известная как (уникурсальная кривая), — это кривая, (бирационально эквивалентная) аффинной прямой (или (проективной прямой)); другими словами, кривая, допускающая рациональную параметризацию.
Более конкретно, рациональная кривая в n-мерном пространстве может быть параметризована (за исключением некоторого числа изолированных «особых точек») при помощи n рациональных функций от единственного параметра t.
Любое коническое сечение над полем рациональных чисел, содержащее хотя бы одну рациональную точку, является рациональной кривой. Её можно параметризовать, проведя через рациональную точку прямую с произвольным (угловым коэффициентом) t и сопоставив данному t вторую точку пересечения прямой и коники (их не может быть больше двух).
![image](https://www.wikidata.ru-ru.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEucnUtcnUubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODRMemhqTDFKdmRHRjBaV1JmWld4c2FYQnpaUzV6ZG1jdk1qSXdjSGd0VW05MFlYUmxaRjlsYkd4cGNITmxMbk4yWnk1d2JtYz0ucG5n.png)
Например, рассмотрим эллипс x2 + xy + y2 = 1 с рациональной точкой (−1, 0). Проведя через неё прямую y = t(x + 1), подставив выражение y через x в уравнение и решив относительно x, получим уравнения
задающие рациональную параметризацию эллипса. В таком виде представимы все точки эллипса, кроме точки (−1, 0); можно сопоставить ей t = ∞, то есть параметризовать эллипс проективной прямой.
Эту рациональную параметризацию можно рассматривать как параметризацию «эллипса в проективном пространстве», перейдя к (однородным координатам), то есть заменив t на T/U, а x, y — на X/Z, Y/Z соответственно. Параметризация эллипса X2 + XY + Y2 = Z2 проективной прямой примет следующий вид:
Эллиптические кривые
Рациональные кривые (над алгебраически замкнутым полем) — это в точности алгебраические кривые рода 0 (см. ниже), в этой терминологии эллиптические кривые — это кривые рода 1 с рациональной точкой. Любая такая кривая может быть представлена как кубика без (особенностей).
Эллиптическая кривая несёт на себе структуру абелевой группы. Сумма трёх точек на кубике равна нулю тогда и только тогда, когда эти точки коллинеарны.
Пересечение двух коник является кривой четвёртого порядка рода 1, а значит, эллиптической кривой, если содержит хотя бы одну рациональную точку. В противном случае пересечение может быть рациональной кривой четвёртого порядка с особенностями, или быть разложимым на кривые меньшего порядка (кубика и прямая, две коники, коника и две прямые или четыре прямые).
Связь с полями функций
Изучение алгебраических кривых может быть сведено к изучению неприводимых кривых (то есть не раскладывающихся в объединение двух меньших кривых). Каждой такой кривой можно сопоставить поле рациональных функций на ней; оказывается, что кривые бирационально эквивалентны тогда и только тогда, когда их поля функций изоморфны. Это значит, что категория алгебраических кривых и рациональных отображений (двойственна) категории одномерных полей алгебраических функций, то есть полей, являющихся (алгебраическими расширениями) поля .
Комплексные кривые как действительные поверхности
Комплексная алгебраическая кривая, вложенная в аффинное или проективное пространство, имеет топологическую размерность 2, другими словами, является поверхностью. В частности, комплексная алгебраическая кривая без особенностей является двумерным (ориентируемым) многообразием.
Топологический род этой поверхности совпадает с родом алгебраической кривой (который можно вычислить алгебраическими способами). Если проекция кривой без (особенностей) на плоскость является алгебраической кривой степени d с простейшими особенностями ((обыкновенными двойными точками)), то исходная кривая имеет род (d − 1)(d − 2)/2 − k, где k — число этих особенностей.
Изучение компактных (римановых поверхностей) состоит фактически в изучении комплексных алгебраических кривых без особенностей, рассматриваемых как поверхности с дополнительной аналитической структурой. Более точно, следующие категории (эквивалентны):
- Категория проективных алгебраических кривых без особенностей (с рациональными отображениями в качестве морфизмов).
- Категория компактных (римановых поверхностей) и голоморфных функций.
Классификация особенностей
![image](https://www.wikidata.ru-ru.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEucnUtcnUubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWhMMkV6TDBOMWMzQXVjM1puTHpJeU1IQjRMVU4xYzNBdWMzWm5MbkJ1Wnc9PS5wbmc=.png)
Особые точки включают в себя несколько типов точек, в которых кривая «пересекает сама себя», а также различные типы (точек возврата). Например, на рисунке показана кривая x3 − y2 = 0 с точкой возврата в начале координат.
Особые точки можно классифицировать по их инвариантам. Например, особую точку с дельта-инвариантом δ можно интуитивно описать как точку, в которой встречаются сразу δ «самопересечений». В случае точки P на неприводимой кривой δ можно вычислить как (длину модуля) , где
— локальное кольцо в точке P и
— его (целое замыкание). Вычисление дельта-инвариантов всех особых точек позволяет вычислить род кривой по формуле:
Другие важные инварианты: кратность m особенности (максимальное целое число, такое что все производные задающего кривую многочлена, порядок которых не превосходит m, равны нулю) и [англ.].
См. также
- Категория
Примечания
- Ю. И. Манин. Рациональные точки на алгебраических кривых. — Успехи математических наук, т. XIX, вып. 6 (120), 1964.
Литература
- Ж.-П. Серр. Алгебраические группы и поля классов. — М.: Мир, 1968. — 285 с.
- (Джон Милнор). Особые точки комплексных гиперповерхностей. — М.: Мир, 1971. — 121 с.
- Egbert Brieskorn, Horst Knörrer. Plane Algebraic Curves. — Birkhäuser, 1986.
- Hershel M. Farkas, Irwin Kra. Riemann Surfaces. — Springer, 1980.
- (W. Fulton). Algebraic Curves: an introduction to algebraic geometry.
- C.G. Gibson. Elementary Geometry of Algebraic Curves: An Undergraduate Introduction. — Cambridge University Press, 1998.
- специальные плоские кривые [1] от 21 июня 2018 на Wayback Machine (рус.)
Википедия, чтение, книга, библиотека, поиск, нажмите, истории, книги, статьи, wikipedia, учить, информация, история, скачать, скачать бесплатно, mp3, видео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, картинка, музыка, песня, фильм, игра, игры, мобильный, телефон, Android, iOS, apple, мобильный телефон, Samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Сеть, компьютер