Диполь (электродинамика)

У этого термина существуют и другие значения, см. Диполь.

Дипо́ль (фр. dipôle, от греч. di(s) «дважды» + polos «ось», «полюс», буквально — «дву(х)полюсность») — идеализированная система, служащая для приближённого описания поля, создаваемого более сложными системами (зарядов), а также для приближенного описания действия внешнего слоя поля на такие системы.

Магнитное поле Земли примерно совпадает с полем диполя. Однако «N» и «S» (северный и южный) полюса отмечены «географически», то есть противоположно принятому обозначению для полюсов магнитного диполя.

Типичный и стандартный пример диполя — два заряда, равные по величине и противоположные по знаку, находящиеся друг от друга на расстоянии, очень малом по сравнению с расстоянием до точки наблюдения. Поле такой системы полностью описывается дипольным приближением при стремлении расстояния между зарядами к нулю при сохранении произведения величины заряда на расстояние между зарядами — постоянным (или стремящимся к конечному пределу; эта константа или этот предел будет дипольным моментом такой системы).

Эквипотенциальные поверхности электрического диполя

Силовые линии электрического диполя

Дипольное приближение, выполнение которого обычно подразумевается, когда говорится о поле диполя, основано на разложении потенциалов поля в ряд по степеням радиус-вектора, характеризующего положение зарядов-источников, и отбрасывании всех членов выше первого порядка.
Полученные функции будут эффективно описывать поле в случае, если:

1. размеры создающей или излучающей поле системы (области, содержащей заряды) малы по сравнению с рассматриваемыми расстояниями, так что отношение характерного размера системы к длине радиус-вектора является малой величиной и имеет смысл рассмотрение лишь первых членов разложения потенциалов в ряд;
2. член первого порядка в разложении не равен 0, в противном случае нужно использовать приближение более высокой (мультипольности);
3. в уравнениях рассматриваются градиенты (потенциалов) не выше первого порядка.

Дипольный момент системы

Электрический диполь

Электрический диполь — идеализированная электронейтральная система, состоящая из точечных и равных по абсолютной величине положительного и отрицательного электрических зарядов.

Другими словами, электрический диполь представляет собой совокупность двух равных по абсолютной величине разноимённых точечных зарядов, находящихся на некотором расстоянии друг от друга.

Произведение вектора ${\displaystyle {\vec {l}},}$ проведённого от отрицательного заряда к положительному, на абсолютную величину зарядов ${\displaystyle q\,,}$ называется дипольным моментом: ${\displaystyle {\vec {d}}=q{\vec {l}}.}$

Во внешнем электрическом поле ${\displaystyle {\vec {E}}}$ на электрический диполь действует момент сил ${\displaystyle {\vec {d}}\times {\vec {E}},}$ который стремится повернуть его так, чтобы дипольный момент развернулся вдоль направления поля.

Потенциальная энергия электрического диполя в (постоянном) электрическом поле равна ${\displaystyle -{\vec {E}}\cdot {\vec {d}}.}$ (В случае неоднородного поля это означает зависимость не только от момента диполя — его величины и направления, но и от места, точки нахождения диполя).

Вдали от электрического диполя напряжённость его электрического поля убывает с расстоянием ${\displaystyle R}$ как ${\displaystyle R^{-3},}$ то есть быстрее, чем у (точечного заряда) (${\displaystyle E\sim R^{-2}}$).

Диполь.

Дипольное приближение для электростатического поля нейтральной системы

Любая в целом электронейтральная система, содержащая электрические заряды, в некотором приближении (то есть собственно в дипольном приближении) может рассматриваться как электрический диполь с моментом ${\displaystyle {\vec {d}}=\sum _{i}q_{i}{\vec {r}}_{i},}$ где ${\displaystyle q_{i}}$ — заряд ${\displaystyle i}$-го элемента, ${\displaystyle {\vec {r}}_{i}}$ — его радиус-вектор. При этом дипольное приближение будет корректным, если расстояние, на котором изучается электрическое поле системы, велико по сравнению с её характерными размерами.

В точечном приближении, поле, создаваемое диполем в точке с радиус-вектором ${\displaystyle {\vec {r}}}$ даётся следующим соотношением:

${\displaystyle {\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {3{\vec {r}}({\vec {r}},{\vec {d}})-{r^{2}}{\vec {d}}}{r^{5}}}}$

Дипольное приближение для электростатического поля не-нейтральной системы

Не электрически нейтральная система очевидным образом может быть представлена как сумма (суперпозиция) электрически нейтральной системы и точечного заряда. Для этого достаточно поместить куда-то внутрь системы точечный заряд, противоположный ее суммарному заряду, и в ту же точку еще один точечный заряд, равный ее суммарному заряду. После чего рассматривать первый заряд вместе с остальной системой (ее дипольный момент будет очевидно равен дипольному моменту, вычисленному по формуле, приведенной выше, если за начало координат взять положение добавленного точечного заряда: тогда сам добавленный заряд не войдет в выражение). Второй же точечный заряд даст кулоновское поле.

То есть, вдалеке от такой системы электростатическое поле, создаваемое ею, в дипольном приближении будет суммой (суперпозицией) кулоновского поля, создаваемого зарядом этой системы ${\displaystyle Q=\sum _{i}q_{i},}$ условно помещенного в некоторую точку внутри системы зарядов, и поля диполя с моментом ${\displaystyle {\vec {d}}=\sum _{i}q_{i}{\vec {r}}_{i},}$, где радиус-векторы берутся от положения заряда ${\displaystyle Q.}$ Нетрудно показать при этом и что такое поле в дипольном приближении не зависит от произвольно (но обязательно внутри системы зарядов или очень близко к ней) выбранного положения точечного заряда ${\displaystyle Q,}$ поскольку поправка в нужном порядке будет компенсироваться изменением вычисленного дипольного момента (ведь перемещение положения заряда ${\displaystyle Q}$ на некоторое ${\displaystyle {\vec {D}}}$ эквивалентно наложению диполя с моментом ${\displaystyle Q{\vec {D}}}$).

Магнитный диполь

Магнитный диполь — аналог электрического, который можно представить себе как систему двух «магнитных зарядов» — (магнитных монополей). Эта аналогия условна, так как магнитные заряды не обнаружены. В качестве модели магнитного диполя можно рассматривать небольшую (по сравнению с расстояниями, на которых излучается генерируемое диполем магнитное поле) плоскую замкнутую проводящую рамку площади ${\displaystyle S\,,}$ по которой течёт ток ${\displaystyle I\,.}$ При этом магнитным моментом диполя (в системе (СГСМ)) называют величину ${\displaystyle {\vec {\mu }}=IS{\vec {n}},}$ где ${\displaystyle {\vec {n}}}$ — единичный вектор, направленный перпендикулярно плоскости рамки в том направлении, при наблюдении в котором ток в рамке представляется текущим по часовой стрелке.

Выражения для вращающего момента ${\displaystyle {\vec {M}}}$, действующего со стороны магнитного поля на магнитный диполь, и потенциальной энергии постоянного магнитного ${\displaystyle U}$диполя в магнитном поле, аналогичны соответствующим формулам для взаимодействия электрического диполя с электрическим полем, только входят туда магнитный момент ${\displaystyle {\vec {m}}}$ и (вектор магнитной индукции) ${\displaystyle {\vec {B}}}$:

${\displaystyle {\vec {M}}={\vec {m}}\times {\vec {B}},}$

${\displaystyle U=-{\vec {m}}\cdot {\vec {B}}.}$

Поле колеблющегося диполя

В этом разделе рассматривается поле, создаваемое точечным электрическим диполем ${\displaystyle \mathbf {d} (t),}$ находящимся в заданной точке пространства.

Поле на близких расстояниях ((ближняя зона))

Поле точечного диполя, колеблющегося в вакууме, имеет вид

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {3\mathbf {n} (\mathbf {n} ,\mathbf {d} )-\mathbf {d} }{R^{3}}}+{\frac {3\mathbf {n} (\mathbf {n} ,{\dot {\mathbf {d} }})-{\dot {\mathbf {d} }}}{cR^{2}}}+{\frac {\mathbf {n} (\mathbf {n} ,{\ddot {\mathbf {d} }})-{\ddot {\mathbf {d} }}}{c^{2}R}}}$

${\displaystyle \mathbf {B} =\left[{\frac {\dot {\mathbf {d} }}{cR^{2}}}+{\frac {\ddot {\mathbf {d} }}{Rc^{2}}},\mathbf {n} \right]=\left[\mathbf {n} ,\mathbf {E} +{\frac {\mathbf {d} }{R^{3}}}\right],}$

где ${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {R} }{R}}}$ — единичный вектор в рассматриваемом направлении, ${\displaystyle c}$ — скорость света.

Этим выражениям можно придать несколько другую форму, если ввести вектор Герца

${\displaystyle \mathbf {Z} =-{\frac {1}{R}}\cdot \mathbf {d} \left(t-{\frac {R}{c}}\right).}$

Напомним, что диполь покоится в начале координат, так что ${\displaystyle \mathbf {d} }$ является функцией одной переменной. Тогда

${\displaystyle \mathbf {E} =-\operatorname {rot} \,\operatorname {rot} \,\mathbf {Z} ,}$

${\displaystyle \mathbf {B} =-{\frac {1}{c}}\operatorname {rot} \,{\dot {\mathbf {Z} }}.}$

При этом потенциалы поля можно выбрать в виде

${\displaystyle \mathbf {A} =-{\frac {\dot {\mathbf {Z} }}{c}},~~\phi =\operatorname {div} \,\mathbf {Z} .}$

Указанные формулы можно применять всегда, когда применимо дипольное приближение.

Дипольное излучение (излучение в волновой зоне или (дальней зоне))

Приведённые формулы существенно упрощаются, если размеры системы много меньше длины излучаемой волны, то есть скорости зарядов много меньше c, а поле рассматривается на расстояниях много больших, чем длина волны. Такую область поля называют волновой зоной. Распространяющуюся волну можно в этой области считать практически (плоской). Из всех членов в выражениях для ${\displaystyle \mathbf {E} }$ и ${\displaystyle \mathbf {B} }$ существенными оказываются только члены, содержащие вторые производные от ${\displaystyle \mathbf {d} ,}$ так как

${\displaystyle {\frac {\dot {\mathbf {d} }}{c}}\approx {\frac {d}{\lambda }},}$

${\displaystyle {\frac {\ddot {\mathbf {d} }}{c^{2}}}\approx {\frac {d}{\lambda ^{2}}}.}$

Выражения для полей в системе СГС принимают вид

${\displaystyle \mathbf {H} ={\frac {1}{c^{2}R}}[{\ddot {\mathbf {d} }},\mathbf {n} ],~~\mathbf {H} =[\mathbf {n} ,\mathbf {E} ],}$

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{c^{2}R}}\left[[{\ddot {\mathbf {d} }},\mathbf {n} ],\mathbf {n} \right],~~\mathbf {E} =[\mathbf {B} ,\mathbf {n} ].}$

В плоской волне (интенсивность) излучения в телесный угол ${\displaystyle d\Omega }$ равна

${\displaystyle dI=c{\frac {H^{2}}{4\pi }}R^{2}d\Omega ,}$

поэтому для дипольного излучения

${\displaystyle dI={\frac {1}{4\pi c^{3}}}[{\ddot {\mathbf {d} }},\mathbf {n} ]^{2}d\Omega ={\frac {{\ddot {\mathbf {d} }}^{2}}{4\pi c^{3}}}\sin ^{2}{\theta }d\Omega .}$

где ${\displaystyle \theta }$ — угол между векторами ${\displaystyle {\ddot {\mathbf {d} }}}$ и ${\displaystyle \mathbf {n} .}$ Найдём полную излучаемую энергию. Учитывая, что ${\displaystyle d\Omega =2\pi \,\sin {\theta }\,d\theta ,}$ проинтегрируем выражение по ${\displaystyle d\theta }$ от ${\displaystyle 0}$ до ${\displaystyle \pi .}$ Полное излучение равно

${\displaystyle I={\frac {2}{3c^{3}}}{\ddot {\mathbf {d} }}^{2}.}$

Укажем спектральный состав излучения. Он получается заменой вектора ${\displaystyle {\ddot {\mathbf {d} }}}$ на его Фурье-компоненту и одновременным умножением выражения на 2. Таким образом,

${\displaystyle d{\mathcal {E}}_{\omega }={\frac {4\omega ^{4}}{3c^{3}}}\left|\mathbf {d} _{\omega }\right|^{2}{\frac {d\omega }{2\pi }}.}$

См. также

• (Мультиполь)
• (Квадруполь)
• Дипольный момент
• (Магнитный дипольный момент)
• (Диполярная система координат)

Примечания

1. Для случая (электростатики), магнитостатики и т.п. это означает сохранение в потенциале членов со степенями радиус-вектора от диполя к точке наблюдения −1 и −2; в случае же чисто дипольного поля (когда система источников имеет нулевой суммарный заряд) только степени −2.

Литература

• Ландау Л. Д., (Лифшиц Е. М.) Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («(Теоретическая физика)», том II). — .
• Ахманов С. А., Никитин С. Ю., «Физическая оптика», 2004.