Пло́скость — одно из фундаментальных понятий в геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. В тесной связи с плоскостью принято рассматривать принадлежащие ей точки и прямые; они также, как правило, вводятся как неопределяемые понятия, свойства которых задаются аксиоматически.
![image](https://www.wikidata.ru-ru.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEucnUtcnUubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODNMemRpTDFCc1lXNWxTVzUwWlhKelpXTjBhVzl1TG5CdVp5OHlNakJ3ZUMxUWJHRnVaVWx1ZEdWeWMyVmpkR2x2Ymk1d2JtYz0ucG5n.png)
Некоторые характеристические свойства плоскости
- Плоскость — бесконечно большая поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки;
- Две различные плоскости либо являются параллельными, либо пересекаются по прямой.
- Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает её в одной точке, либо содержится в плоскости.
- Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны друг другу.
- Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны друг другу.
![image](https://www.wikidata.ru-ru.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEucnUtcnUubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWhMMkUxTDA1dmNtMWhiRjkyWldOMGIzSnpNaTV6ZG1jdk1qSXdjSGd0VG05eWJXRnNYM1psWTNSdmNuTXlMbk4yWnk1d2JtYz0ucG5n.png)
Уравнения плоскости
Впервые встречается у А. К. Клеро (1731).
Уравнение плоскости в отрезках, по-видимому, впервые встречается у Г. Ламе (1816—1818).
Нормальное уравнение ввёл Л. О. Гессе (1861).
Плоскость — алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени.
- Общее уравнение (полное) плоскости
где и
— постоянные, причём
и
одновременно не равны нулю; в векторной форме:
где — радиус-вектор точки
, вектор
перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор). Направляющие косинусы вектора
:
Если один из коэффициентов в уравнении плоскости равен нулю, уравнение называется неполным. При плоскость проходит через начало координат, при
(или
,
) плоскость параллельна оси
(соответственно
или
). При
(
, или
) плоскость параллельна плоскости
(соответственно
или
).
- Уравнение плоскости в отрезках:
где ,
,
— отрезки, отсекаемые плоскостью на осях
и
.
- Уравнение плоскости, проходящей через точку
,перпендикулярной вектору нормали
:
в векторной форме:
- Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
, не лежащие на одной прямой:
(смешанное произведение векторов), иначе
- Нормальное (нормированное) уравнение плоскости
в векторной форме:
где - единичный вектор,
— расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель
(знаки и
противоположны).
Определение по точке и вектору нормали
В трёхмерном пространстве одним из важнейших способов определения плоскости является указание точки на плоскости и вектора нормали к ней.
Допустим, является радиусом-вектором точки
, заданной на плоскости, и допустим, что n — это ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости (нормаль). Идея состоит в том, что точка
с радиусом-вектором r находится на плоскости тогда и только тогда, когда вектор, проведённый от
к
, перпендикулярен n.
Вернёмся к тому, что два вектора являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Отсюда следует, что нужная нам плоскость может быть выражена как множество всех точек r таких, что:
(Здесь точка означает скалярное произведение, а не умножение.)
Развернув выражение, мы получим:
что является знакомым нам уравнением плоскости.
Например: Дано: точка на плоскости и вектор нормали
.
Уравнение плоскости записывается так:
Расстояние от точки до плоскости
Расстояние от точки до плоскости — это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
- Отклонение точки
от плоскости заданной нормированным уравнением
,если
и начало координат лежат по разные стороны плоскости, в противоположном случае
. Расстояние от точки до плоскости равно
- Расстояние
от точки
, до плоскости, заданной уравнением
, вычисляется по формуле:
Расстояние между параллельными плоскостями
- Расстояние между плоскостями, заданными уравнениями
и
:
- Расстояние между плоскостями, заданными уравнениями
и
:
![image](https://www.wikidata.ru-ru.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEucnUtcnUubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODFMelV5TDFKbGJHRjBhVzl1YzE5aVpYUjNaV1Z1WDNCc1lXNWxjeTV3Ym1jdk16QXdjSGd0VW1Wc1lYUnBiMjV6WDJKbGRIZGxaVzVmY0d4aGJtVnpMbkJ1Wnc9PS5wbmc=.png)
Связанные понятия
- Угол между двумя плоскостями. Если уравнения П. заданы в виде (1), то
Если в векторной форме, то
- (Плоскости параллельны), если
или
(Векторное произведение)
- Плоскости перпендикулярны, если
или
. (Скалярное произведение)
- Пучок плоскостей — все плоскости, проходящие через линию пересечения двух плоскостей. Уравнение пучка плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через линию пересечения двух плоскостей, имеет вид:222:
- где
и
— любые числа, не равные одновременно нулю. Уравнение самой этой линии можно найти из уравнения пучка, подставляя α=1, β=0 и α=0, β=1.
- Связка плоскостей — все плоскости, проходящие через точку пересечения трёх плоскостей:224. Уравнение связки плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через точку пересечения трёх плоскостей, имеет вид:
- где
,
и
— любые числа, не равные одновременно нулю. Саму эту точку можно найти из уравнения связки, подставляя α=1, β=0, γ=0; α=0, β=1, γ=0 и α=0, β=0, γ=1 и решая получившуюся систему уравнений.
Вариации и обобщения
Плоскости в неевклидовом пространстве
Метрика плоскости не обязана быть евклидовой. В зависимости от введенных отношений (инцидентности) точек и прямых, различают проективные, аффинные, (гиперболические) и (эллиптические плоскости).
Многомерные плоскости
Пусть дано n-мерное аффинное-конечномерное пространство , над полем действительных чисел. В нём выбрана прямоугольная система координат
. m-плоскостью называется множество точек
, радиус векторы которых удовлетворяют следующему соотношению
— матрица, столбцы которой образует направляющие подпространство плоскости,
— вектор переменных,
— радиус-вектор одной из точек плоскости.
Указанное соотношение можно из матрично-векторного вида перевести в векторный: — векторное уравнение m-плоскости.
Вектора образуют направляющее подпространство. Две m-плоскости
называются параллельными, если их направляющие пространства совпадают и
.
(n-1)-плоскость в n-мерном пространстве называется гиперплоскостью или просто плоскостью. Для гиперплоскости существует общее уравнение плоскости. Пусть — нормальный вектор плоскости,
— вектор переменных,
— радиус вектор точки, принадлежащей плоскости, тогда:
— общее уравнение плоскости.
Имея матрицу направляющих векторов, уравнение можно записать так: , или:
.
Углом между плоскостями называется наименьший угол между их нормальными векторами.
Примером 1-плоскости в трёхмерном пространстве (n=3) служит прямая. Её векторное уравнение имеет вид: . В случае n = 2 прямая является гиперплоскостью.
Гиперплоскость в трёхмерном пространстве соответствует привычному понятию плоскости.
См. также
Примечания
- Математическая энциклопедия, 1984.
- Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторная алгебра в примерах и задачах. — М.: Высшая школа, 1985. — 232 с. 10 января 2014 года.
Литература
- Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. — М.: Физматлит, 2002. — 240 с.
- Плоскость // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4. — С. 318—319.
Ссылки
На Викискладе есть медиафайлы по теме Плоскость
Википедия, чтение, книга, библиотека, поиск, нажмите, истории, книги, статьи, wikipedia, учить, информация, история, скачать, скачать бесплатно, mp3, видео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, картинка, музыка, песня, фильм, игра, игры, мобильный, телефон, Android, iOS, apple, мобильный телефон, Samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Сеть, компьютер