Правильный треугольник (равносторонний, равноугольный) — треугольник, все стороны которого равны между собой, как следствие, все углы также равны и составляют 60°; дважды (равнобедренный) треугольник; правильный многоугольник с тремя сторонами, простейший из правильных многоугольников. Символ Шлефли — .
В правильном треугольнике высоты также являются медианами и биссектрисами, их длина равна , где — длина стороны.
Для правильного треугольника со стороной , радиусом (вписанной окружности) и радиусом описанной окружности имеют место соотношения:
- ,
- ,
- ;
а площадь и периметр рассчитываются по формулам:
- ,
- .
(Теорема Вивиани): сумма расстояний от произвольной точки внутри равностороннего треугольника до его сторон постоянна и равна высоте треугольника. В правильном треугольнике (окружность девяти точек) совпадает со (вписанной окружностью).
Правильными треугольниками можно (замостить плоскость).
Группа движений (самосовмещений) плоскости, переводящих правильный треугольник в себя, состоит из 6 элементов: трёх поворотов на углы 0, и вокруг (центроида), а также трёх симметрий относительно трёх прямых, на которых лежат биссектрисы треугольника (последние являются также его высотами и медианами).
На описанной окружности произвольного треугольника существуют ровно три точки такие, что их (прямая Симсона) касается (окружности Эйлера) треугольника , причём эти точки образуют правильный треугольник. Стороны этого треугольника параллельны сторонам (треугольника Морлея). Если на каждой стороне произвольного треугольника построить по равностороннему треугольнику, то треугольник с вершинами в центрах равносторонних треугольников — тоже равносторонний ((теорема Наполеона)).
(Теорема Помпею): для произвольной точки и равностороннего треугольника справедливы неравенства:
- , , ,
при этом если расположена на описанной окружности, то неравенства обращатся в равенства.
Правильный сферический треугольник
Правильный сферический треугольник — сферический треугольник с равными сторонами. Для любого значения в интервале от 60° до 180° существует правильный сферический треугольник с равными этому значению углами.
Примечания
- Людмила Майсеня. Справочник по математике. Основные понятия и формулы. — .
Литература
- (Понарин Я. П.) Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: (МЦНМО), 2004.
Википедия, чтение, книга, библиотека, поиск, нажмите, истории, книги, статьи, wikipedia, учить, информация, история, скачать, скачать бесплатно, mp3, видео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, картинка, музыка, песня, фильм, игра, игры, мобильный, телефон, Android, iOS, apple, мобильный телефон, Samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Сеть, компьютер