Операции над множествами

У этого термина существуют и другие значения, см. Множество (значения).

Мно́жество — одно из ключевых понятий математики, представляющее собой набор, совоку́пность каких-либо (вообще говоря любых) объектов — элеме́нтов этого множества. Два множества равны тогда и только тогда, когда содержат в точности одинаковые элементы.

Несколько многоугольников на диаграмме Эйлера

Изучением общих свойств множеств занимаются теория множеств, а также смежные разделы математики и математической логики. Примеры: множество жителей заданного города, множество непрерывных функций, множество решений заданного уравнения. Множество может быть пустым и непустым, упорядоченным и неупорядоченным, конечным и бесконечным. Бесконечное множество может быть счётным или несчётным. Более того, как в наивной, так и в аксиоматической теориях множеств любой объект обычно считается множеством. Понятие множества позволяет практически всем разделам математики использовать общую терминологию и идеологию.

История понятия

Основная статья: (История теории множеств)

Основы теории конечных и бесконечных множеств были заложены (Бернардом Больцано), который сформулировал некоторые из её принципов.

С 1872 года по 1897 год (главным образом в 1872—1884 годы) (Георг Кантор) опубликовал ряд работ, в которых были систематически изложены основные разделы теории множеств, включая теорию точечных множеств и теорию трансфинитных чисел (кардинальных и порядковых). В этих работах он не только ввёл основные понятия теории множеств, но и обогатил математику рассуждениями нового типа, которые применил для доказательства теорем теории множеств, в частности впервые к бесконечным множествам. Поэтому общепризнано, что теорию множеств создал Георг Кантор. В частности, он определил множество как «единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством», и назвал эти объекты элементами множества. Множество всех объектов, обладающих свойством ${\displaystyle A(x)}$ (то есть утверждением, истинность которого зависит от значения переменной ${\displaystyle x}$), он обозначил ${\displaystyle \{x\mid A(x)\}}$, а само свойство ${\displaystyle A(x)}$ назвал характеристическим свойством множества ${\displaystyle X}$.

Несмотря на доброкачественность этого определения, концепция Кантора привела к парадоксам — в частности, к парадоксу Рассела.

Так как теория множеств фактически используется как основание и язык всех современных математических теорий, в 1908 году теория множеств была (аксиоматизирована) независимо Бертраном Расселом и (Эрнстом Цермело). В дальнейшем обе системы пересматривались и изменялись, но в основном сохранили их характер. Они известны как теория типов Рассела и теория множеств Цермело. Впоследствии теория множеств Кантора стала называться наивной теорией множеств, а теорию (в частности, Рассела и Цермело), перепостроенную после Кантора, — аксиоматической теорией множеств.

В практике, сложившейся с середины XX века, множество определяется как модель, удовлетворяющая аксиомам ZFC ((аксиомы Цермело — Френкеля) с аксиомой выбора). Однако при таком подходе в некоторых математических теориях возникают совокупности объектов, которые не являются множествами. Такие совокупности называются классами (различных порядков).

Элемент множества

Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или точками множества. Множества чаще всего обозначают заглавными буквами латинского алфавита, их элементы — строчными. Если ${\displaystyle a}$ — элемент множества ${\displaystyle A}$, то пишут ${\displaystyle a\in A}$ («${\displaystyle a}$ принадлежит ${\displaystyle A}$») или ${\displaystyle A\ni a}$ («${\displaystyle A}$ содержит ${\displaystyle a}$»). Если ${\displaystyle a}$ не является элементом множества ${\displaystyle A}$, то пишут ${\displaystyle a\notin A}$ («${\displaystyle a}$ не принадлежит ${\displaystyle A}$»).

Если всякий элемент множества ${\displaystyle A}$ содержится в ${\displaystyle B}$, то пишут ${\displaystyle A\subset B}$ («${\displaystyle A}$ лежит в ${\displaystyle B}$, является его подмножеством»). Согласно теории множеств, если ${\displaystyle X\subset Y}$, то для всякого элемента ${\displaystyle a\in Y}$ определено либо ${\displaystyle a\in X}$, либо ${\displaystyle a\not \in X}$.

Таким образом, порядок записи элементов множества не влияет на само множество, то есть ${\displaystyle \{6,11\}=\{11,6\}}$. Помимо этого из вышесказанного следует, что для множества не определено число вхождений одинаковых элементов, то есть запись ${\displaystyle A=\{11,11,6,11,6\}}$, вообще говоря, не имеет смысла, если ${\displaystyle A}$ — множество. Однако корректной будет запись множества ${\displaystyle B=\{11,\{11\},\{6,11\},6\}}$.

Задание множества

Существуют два основных (способа задания множеств): перечислением элементов и их описанием.

Перечисление

Первый способ требует задать (перечислить) все элементы, входящие в множество. Например, множество ${\displaystyle Y}$ неотрицательных чётных чисел, меньших 10, задастся: ${\displaystyle Y=\{0,2,4,6,8\}.}$ Данный способ удобно применять лишь к ограниченному числу конечных множеств.

Описание

Второй способ применяется, когда множество нельзя или затруднительно задать перечислением (например, если множество содержит бесконечное число элементов). В таком случае его можно описать свойствами принадлежащих ему элементов.

Множество ${\displaystyle Y\subset X}$ задано, если указано условие ${\displaystyle A(x)}$, которому удовлетворяют все элементы ${\displaystyle x\in X:x\in Y}$, и которому не удовлетворяют ${\displaystyle x\in X:x\notin Y}$. Обозначают ${\displaystyle Y={\big \{}x\in X:A(x){\big \}}.}$

Например, график функции ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ можно задать следующим образом:

${\displaystyle \Gamma ={\big \{}(x,y)\in X\times Y:f(x)=y{\big \}},}$

где ${\displaystyle \times }$ — декартово произведение множеств.

Отношения между множествами

Диаграмма Эйлера для ${\displaystyle A\subset B}$

Для множеств ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ могут быть заданы отношения:

• ${\displaystyle A}$ включено в ${\displaystyle B}$, если каждый элемент множества ${\displaystyle A}$ принадлежит также и множеству ${\displaystyle B}$:

  ${\displaystyle A\subseteq B\Leftrightarrow \forall a(a\in A\Rightarrow a\in B)}$

• ${\displaystyle A}$ включает ${\displaystyle B}$, если ${\displaystyle B}$ включено в ${\displaystyle A}$:

  ${\displaystyle A\supseteq B\Leftrightarrow B\subseteq A}$

• ${\displaystyle A}$ равно ${\displaystyle B}$, если ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ включены друг в друга:

  ${\displaystyle A=B\Leftrightarrow A\subseteq B,\,B\subseteq A}$

  • Для любых множеств ${\displaystyle A=A}$
  • Если ${\displaystyle A=B}$, то ${\displaystyle B=A}$
  • Если ${\displaystyle A=B}$, ${\displaystyle B=C}$, то ${\displaystyle A=C}$.

Иногда различают строгое включение (${\displaystyle A\subset B}$) от нестрогого (${\displaystyle A\subseteq B}$), различающиеся тем, что из ${\displaystyle A\subset B\not \Rightarrow A=B}$. Однако в большинстве случаев строгость включений не расписывают, отчего встречаются записи произвольных включений знаками строгого включения.

Операции над множествами

Диаграмма Венна для ${\displaystyle A\cap B}$

Диаграмма Венна для ${\displaystyle A\cup B}$

Диаграмма Венна для ${\displaystyle A\setminus B}$

Диаграмма Венна для ${\displaystyle A\bigtriangleup B}$

Диаграмма Венна для ${\displaystyle (A\cap B)^{\complement }}$

Для наглядного представления операций часто используются диаграммы Венна, на которых представлены результаты операций над геометрическими фигурами как множествами точек.

Основные операции

Пересечение (множество общих точек):

${\displaystyle A\cap B=\{x\mid x\in A,\,x\in B\}}$.

Объединение (множество всех точек):

${\displaystyle A\cup B=\{x,y\mid x\in A,\,y\in B\}}$.

Объединение непересекающихся ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ (${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$) также обозначают ${\displaystyle A+B=A\cup B}$.

(Разность) (множество точек первого без второго):

${\displaystyle A\setminus B=\{x\mid x\in A,\,x\notin B\}}$.

Симметрическая разность:

${\displaystyle A\bigtriangleup B\equiv A\mathbin {\dot {-}} B=(A\cup B)\setminus (A\cap B)}$;

(Дополнение) для ${\displaystyle A\subset B}$ (множество ${\displaystyle B}$ без ${\displaystyle A}$):

${\displaystyle {\overline {A}}\equiv A^{\complement }=B\setminus A}$.

Булеан ${\displaystyle A}$ (множество всех подмножеств):

${\displaystyle 2^{A}=\{X\mid X\subset A\}}$.

Для операций над множествами также справедливы (законы де Моргана):

${\displaystyle A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C)}$,

${\displaystyle A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)}$.

Приоритет операций

Последовательность выполнения операций над множествами, как и обычно, может быть задана скобками. При отсутствии скобок сначала выполняются унарные операции (дополнение), затем — пересечения, затем — объединения, (разности) и симметрической разности^[]. Операции одного приоритета выполняются слева направо. При этом надо иметь в виду, что в отличие от арифметических сложения и вычитания, для которых, в частности, верно, что ${\displaystyle (a+b)-c=a+(b-c)}$, для аналогичных операций над множествами это неверно. Например, если ${\displaystyle A=\{1,3\}}$, ${\displaystyle B=\{1,2\}}$, ${\displaystyle C=\{2,3\}}$, то ${\displaystyle (A\cup B)\setminus C=\{1\}}$, но, в то же время, ${\displaystyle A\cup (B\setminus C)=\{1,3\}}$.

Декартово произведение

Основная статья: Прямое произведение

Декартовым произведением множеств ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ называют множество, обозначаемое ${\displaystyle (A\times B)}$, элементами которого являются всевозможные пары элементов исходных множеств; ${\displaystyle A\times B=\{(a,b)\mid a\in A,\,b\in B\}}$.

Удобно представить, что элементы декартова произведения заполняют таблицу элементов, столбцы которой описывают все элементы одного множества, а строки, соответственно, другого.

Мощность

Основная статья: Мощность множества

Мощность множества — характеристика множества, обобщающая понятие о количестве элементов конечного множества таким образом, чтобы множества, между которыми возможно установление биекции, были равномощны. Обозначается ${\displaystyle |A|}$ или ${\displaystyle \sharp A}$. Мощность пустого множества равна нулю, для конечных множеств мощность совпадает с числом элементов, для бесконечных множеств вводятся специальные кардинальные числа, соотносящиеся друг с другом по принципу включения (если ${\displaystyle A\subseteq B}$, то ${\displaystyle |A|\leqslant |B|}$) и распространяющие свойства мощности булеана конечного множества: ${\displaystyle |2^{A}|=2^{|A|}}$ на случай бесконечных множеств. Само обозначение ${\displaystyle 2^{A}}$во многом мотивировано этим свойством.

Наименьшая бесконечная мощность обозначается ${\displaystyle \aleph _{0}}$, это мощность счётного множества (биективного ${\displaystyle \mathbb {N} }$). Мощность континуального множества (биективного ${\displaystyle \mathbb {R} }$ или ${\displaystyle 2^{\mathbb {N} }}$) обозначаетсяя ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ или ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$. Во многом определение мощности континуума строится на (континуум-гипотезе) — предположении об отсутствии промежуточных мощностей между счётной мощностью и мощностью континуума.

Некоторые виды множеств и сходных объектов

Специальные множества

• Пустое множество — множество, не содержащее ни одного элемента.
• (Одноэлементное множество) — множество, состоящее из одного элемента.
• Универсальное множество (универсум) — множество, содержащее все мыслимые объекты. В связи с парадоксом Рассела данное понятие трактуется в настоящее время более узко как «множество, включающее все множества и объекты, участвующие в рассматриваемой задаче».

Сходные объекты

• Кортеж (в частности, упорядоченная пара) — упорядоченная совокупность конечного числа именованных объектов. Записывается внутри круглых или угловых скобок, а элементы могут повторяться.
• (Мультимножество) (в теории (сетей Петри) называется «комплект») — множество с кратными элементами.
• Пространство — множество с некоторой дополнительной структурой.
• Вектор — элемент линейного пространства, содержащий конечное число элементов некоторого поля в качестве координат. Порядок имеет значение, элементы могут повторяться.
• Последовательность — функция одного натурального переменного. Представляется как бесконечный набор элементов (не обязательно различных), порядок которых имеет значение.
• (Нечёткое множество) — математический объект, подобный множеству, принадлежность которому задаётся не отношением, а функцией. Иными словами, относительно элементов нечёткого множества можно говорить «в какой мере» они в него входят, а не просто, входят они в него или нет.

По иерархии

Запрос «Семейство множеств»^[d] перенаправляется сюда. На эту тему нужно .

• Система множеств (множество множеств) — множество, все элементы которого также являются множествами, обычно схожего происхождения (например, все они могут быть подмножествами некоторого другого множества).
  • (Алгебра множеств), (кольцо множеств) — примеры типов структур, являющихся системами множеств.
  • Булеан — множество всех подмножеств данного множества.
• (Семейство) множеств — индексированный аналог системы множеств.
• Подмножество
• (Надмножество)

Примечания

1. Множество // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 762. 16 октября 2013 года.
2. Stoll, Robert. Sets, Logic and Axiomatic Theories. — W. H. Freeman and Company, 1974. — P. 5.
3. Steve Russ. The Mathematical Works of Bernard Bolzano. — OUP Oxford, 9 December 2004. — . от 27 апреля 2022 на Wayback Machine
4. William Ewald. From Kant to Hilbert Volume 1: A Source Book in the Foundations of Mathematics / William Ewald, William Bragg Ewald. — OUP Oxford, 1996. — P. 249. — . от 22 апреля 2022 на Wayback Machine
5. Paul Rusnock. Bernard Bolzano: His Life and Work / Paul Rusnock, Jan Sebestík. — OUP Oxford, 25 April 2019. — P. 430. — . от 17 апреля 2022 на Wayback Machine
6. «Eine Menge, ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens — welche Elemente der Menge genannt werden — zu einem Ganzen.» Archived copy  (неопр.). Дата обращения: 22 апреля 2011. 10 июня 2011 года.
7. Студопедия — Теория множеств  (неопр.). Дата обращения: 2 мая 2020. 25 ноября 2020 года.

Литература

• (К. Куратовский), (А. Мостовский). Теория множеств / Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. — М.: Мир, 1970. — 416 с.
• Столл Р. Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. / Перевод с английского (Ю. А. Гастева) и И. Х. Шмаина под редакцией (Ю. А. Шихановича). — М.: Просвещение, 1968. — 232 с.