Символы Кристоффеля

Си́мволы Кристо́ффеля (или кристоффели) — коэффициенты координатного выражения аффинной связности, в частности, связности Леви-Чивиты. Названы в честь (Эльвина Бруно Кристоффеля). Используются в дифференциальной геометрии, общей теории относительности и близких к ней теориях гравитации. Появляются в координатном выражении тензора кривизны. При этом сами символы тензорами не являются.

Обычно обозначаются ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}$; иногда, следуя первоначальному обозначению Кристоффеля, используется символ ${\displaystyle \{{\begin{smallmatrix}k\\ij\end{smallmatrix}}\}.}$

Ниже используется правило суммирования Эйнштейна, то есть по повторяющимся верхнему и нижнему индексам подразумевается суммирование.

История

Символы впервые появились в статье Кристоффеля «О преобразовании однородных дифференциальных выражений второй степени» (нем. Über die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades — J. fur Math., № 70, 1869). В ней автор рассмотрел условия совпадения римановой геометрии, определяемой двумя различными метрическими формами. Независимо от Кристоффеля аналогичную задачу решил Рудольф Липшиц, чья статья появилась годом позже.

Элементарное понятие о символах Кристоффеля

Рис. 1. Параллельный перенос вдоль луча

Рис. 2. Параллельный перенос вдоль дуги

Введение

Наглядное представление о символах Кристоффеля можно получить на примере полярной системы координат. В этой системе координатами точки являются расстояние ${\displaystyle {r}}$ от неё до полюса и угол ${\displaystyle \varphi }$ направления от полярной оси.

Координатами вектора, как и в прямоугольной системе координат, следует считать дифференциалы (бесконечно малые приращения) этих величин: ${\displaystyle ({\rm {d}}r,\,{\rm {d}}\varphi )}$.

Пусть есть вектор ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ с (компонентами) ${\displaystyle (a,\,\alpha )}$, где ${\displaystyle a}$ имеет геометрический смысл проекции вектора ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ на радиальный луч (проходящий через начало вектора), а ${\displaystyle \alpha }$ — угол, под которым вектор виден из полюса. В прямоугольной системе координат компоненты вектора не меняются при параллельном переносе. В полярной системе координат это не так (см. рис 1 и 2).

Символы Кристоффеля как раз и выражают изменение компонент вектора при его параллельном переносе.

Параллельный перенос вдоль координатных линий

При смещении вектора вдоль радиального луча на расстояние ${\displaystyle {\rm {d}}r}$, его компонента ${\displaystyle a}$, очевидно, не меняется, но вторая его координата (${\displaystyle \alpha }$) уменьшается (рис. 1). Величина вектора ${\displaystyle |A|^{2}=a^{2}+r^{2}\alpha ^{2}}$ остаётся неизменной, поэтому ${\displaystyle a^{2}+(r+{\rm {d}}r)^{2}(\alpha +{\rm {d}}\alpha )^{2}=a^{2}+r^{2}\alpha ^{2}}$. Отсюда получается (пренебрежением величинами второго и большего порядков малости):

${\displaystyle {\rm {d}}\alpha =-{\frac {1}{r}}\,\alpha \,{\rm {d}}r.}$

При параллельном переносе вдоль дуги меняются обе координаты ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle \alpha }$ (рис. 2). Очевидно, ${\displaystyle \alpha ={\frac {A}{r}}\sin \lambda }$, ${\displaystyle a=A\cos \lambda }$, и ${\displaystyle {\rm {d}}\lambda =-{\rm {d}}\varphi }$ поэтому:

${\displaystyle {\rm {d}}\alpha =-{\frac {1}{r}}\,a\,{\rm {d}}\varphi .}$

Кроме этого, так как ${\displaystyle a=A\cos \lambda }$, ${\displaystyle {\rm {d}}\lambda =-{\rm {d}}\varphi }$, и ${\displaystyle A\sin \lambda =r\alpha }$, то

${\displaystyle {\rm {d}}a=-(-r)\,\alpha \,{\rm {d}}\varphi .}$

Параллельный перенос в произвольном направлении

При произвольном малом смещении вектора (когда меняются и ${\displaystyle r}$, и ${\displaystyle \varphi }$) изменения компонент надо складывать:

${\displaystyle {\rm {d}}a=-(-r)\,\alpha \,{\rm {d}}\varphi .}$ ${\displaystyle {\rm {d}}\alpha =-{\frac {1}{r}}\,\alpha \,{\rm {d}}r-{\frac {1}{r}}\,a\,{\rm {d}}\varphi .}$

Полученные выражения имеют общую структуру: изменение компонент вектора пропорционально всем компонентам вектора и пропорционально величине сдвига вектора. Коэффициенты пропорциональности (без общего минуса) и называются символами Кристоффеля.

В более общих обозначениях ${\displaystyle x^{1}=r}$, ${\displaystyle x^{2}=\varphi }$, ${\displaystyle {A^{1}=a}}$ и ${\displaystyle A^{2}=\alpha }$ можно записать (имея в виду сумму по повторяющимся индексам):

${\displaystyle {\rm {d}}A^{i}=-\Gamma _{kl}^{i}A^{k}{\rm {d}}x^{l}.}$

Здесь символы Кристоффеля ${\displaystyle {\Gamma _{22}^{1}=-r}}$, ${\displaystyle \Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{21}^{2}=1/r}$, а все остальные равны нулю.

В прямоугольной системе координат все символы Кристоффеля равны нулю, так как компоненты вектора не изменяются при параллельном переносе. Из этого можно сделать вывод, что символы Кристоффеля не образуют тензор: если тензор равен нулю в какой-либо системе координат, то он равен нулю во всех остальных системах координат.

Символы Кристоффеля первого и второго рода

Символы Кристоффеля второго рода ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}$ можно определить как коэффициенты разложения ковариантной производной координатных векторов ${\displaystyle \partial _{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$ по базису:

${\displaystyle \nabla _{\partial _{j}}\partial _{i}=\Gamma _{ij}^{k}\partial _{k}.}$

Символы Кристоффеля первого рода ${\displaystyle \Gamma _{n,ij}^{}}$:

${\displaystyle \Gamma _{n,ij}=g_{kn}\Gamma _{ij}^{k}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{in}}{\partial x^{j}}}+{\frac {\partial g_{jn}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{n}}}\right).}$

Выражение через метрический тензор

Символы Кристоффеля связности Леви-Чивиты для карты ${\displaystyle x^{i}}$ могут быть определены из отсутствия кручения, то есть,

${\displaystyle \Gamma ^{i}{}_{jk}=\Gamma ^{i}{}_{kj},}$

и того условия, что ковариантная производная метрического тензора ${\displaystyle g_{ik}}$ равна нулю:

${\displaystyle 0=\nabla _{\ell }g_{ik}={\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{\ell }}}-g_{mk}\Gamma ^{m}{}_{i\ell }-g_{im}\Gamma ^{m}{}_{k\ell }.}$

Для сокращения записи символ набла ${\displaystyle \nabla }$ и символы частных производных часто опускаются, вместо них перед индексом, по которому производится дифференцирование, ставится точка с запятой «;» в случае ковариантной и запятая «,» в случае частной производной. Таким образом, выражение выше можно также записать как

${\displaystyle 0=g_{ik;\ell }=g_{ik,\ell }-g_{mk}\Gamma ^{m}{}_{i\ell }-g_{im}\Gamma ^{m}{}_{k\ell }.}$

Явные выражения для символов Кристоффеля второго рода получаются, если сложить это уравнение и другие два уравнения, которые получаются циклической перестановкой индексов:

${\displaystyle \Gamma ^{i}{}_{k\ell }={\frac {1}{2}}g^{im}\left({\frac {\partial g_{mk}}{\partial x^{\ell }}}+{\frac {\partial g_{m\ell }}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{k\ell }}{\partial x^{m}}}\right)={\frac {1}{2}}g^{im}(g_{mk,\ell }+g_{m\ell ,k}-g_{k\ell ,m}),}$

где ${\displaystyle g^{ij}}$ — контравариантное представление метрики, которое есть матрица, обратная к ${\displaystyle g_{ij}}$, находится путём решения системы линейных уравнений ${\displaystyle g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}}$.

Инвариантные обозначения

Инвариантные обозначения для связности абстрагируются от конкретной системы координат и поэтому более предпочтительны при доказательстве математических теорем.

Пусть X и Y — векторные поля с компонентами ${\displaystyle X^{i}}$ и ${\displaystyle Y^{k}}$. Тогда k-я компонента ковариантной производной поля Y по отношению к X задается выражением

${\displaystyle \left(\nabla _{X}Y\right)^{k}=X^{i}\nabla _{i}Y^{k}=X^{i}\left({\frac {\partial Y^{k}}{\partial x^{i}}}+\Gamma ^{k}{}_{im}Y^{m}\right).}$

Условие отсутствия кручения у связности:

${\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]}$

эквивалентно симметричности символов Кристоффеля по двум нижним индексам:

${\displaystyle \Gamma ^{i}{}_{jk}=\Gamma ^{i}{}_{kj}.}$

Замена координат

Несмотря на то, что символы Кристоффеля записываются в тех же обозначениях, что и компоненты тензоров, они не являются тензорами, потому что не преобразуются как тензоры при переходе в новую систему координат. В частности, выбором координат в окрестности любой точки символы Кристоффеля могут быть локально сделаны равными нулю (или обратно ненулевыми), что невозможно для тензора.

При замене переменных ${\displaystyle (x^{1},\dots ,x^{n})\ }$ на ${\displaystyle (y^{1},\dots ,y^{n})}$ базисные векторы преобразуются ковариантно:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y^{i}}}={\frac {\partial x^{k}}{\partial y^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}},}$

откуда следует формула преобразования символов Кристоффеля:

${\displaystyle {{\bar {\Gamma }}^{k}{}_{ij}}={\frac {\partial x^{p}}{\partial y^{i}}}\,{\frac {\partial x^{q}}{\partial y^{j}}}\,\Gamma ^{r}{}_{pq}\,{\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{r}}}+{\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{r}}}\,{\frac {\partial ^{2}x^{r}}{\partial y^{i}\partial y^{j}}}.}$

Черта означает систему координат y. Таким образом, символы Кристоффеля не преобразуются как тензор. Они представляют собой более сложный геометрический объект в касательном пространстве с нелинейным законом преобразования от одной системы координат к другой.

Примечание. Можно заметить, например, из определения, что первый индекс является тензорным, то есть по нему символы Кристоффеля преобразуются как тензор.

Символы Кристоффеля в различных системах координат

Пользуясь выражением символа через метрический тензор, либо преобразованием координат, можно получить значения их в любой системе координат. В механике и физике чаще всего используются ортогональные криволинейные системы координат. В этом случае символы Кристоффеля с равными коэффициентами выражаются через (диагональные элементы метрического тензора) ${\displaystyle H_{\beta }}$, а все остальные равны нулю.

Символы Кристоффеля первого рода выражаются так:

${\displaystyle \Gamma _{\beta \beta ,\gamma }=-H_{\beta }H_{\gamma }{\frac {\partial H_{\beta }}{\partial x^{\gamma }}}}$ при ${\displaystyle \beta \neq \gamma ,}$

${\displaystyle \Gamma _{\beta \gamma ,\beta }=H_{\beta }{\frac {\partial H_{\beta }}{\partial x^{\gamma }}}.}$

Символы Кристоффеля второго рода:

${\displaystyle \Gamma _{\beta \beta }^{\gamma }=-{\frac {H_{\beta }}{H_{\gamma }^{2}}}{\frac {\partial H_{\beta }}{\partial x^{\gamma }}}}$ при ${\displaystyle \beta \neq \gamma ,}$

${\displaystyle \Gamma _{\beta \gamma }^{\beta }=\Gamma _{\gamma \beta }^{\beta }={\frac {1}{H_{\beta }}}{\frac {\partial H_{\beta }}{\partial x^{\gamma }}}.}$

Значения для распространённых систем координат:

• В декартовой системе координат ${\displaystyle \{x,y,z\}}$: ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}\equiv 0}$, поэтому ковариантная производная совпадает с частной производной.
• В цилиндрической системе координат ${\displaystyle \{r,\phi ,z\}}$: ${\displaystyle \Gamma _{22}^{1}=-r}$, ${\displaystyle \Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}={\frac {1}{r}}}$. Остальные равны нулю.
• В сферической системе координат ${\displaystyle \{r,\theta ,\phi \}}$: ${\displaystyle \Gamma _{22}^{1}=-r}$, ${\displaystyle \Gamma _{33}^{1}=-r\sin ^{2}\theta }$, ${\displaystyle \Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{13}^{3}=\Gamma _{31}^{3}={\frac {1}{r}}}$, ${\displaystyle \Gamma _{33}^{2}=-\cos \theta \sin \theta }$, ${\displaystyle \Gamma _{23}^{3}=\Gamma _{32}^{3}=\operatorname {ctg} \theta }$. Остальные равны нулю.

Вариации и обобщения

Разница двух аффинных связностей

${\displaystyle \Gamma _{X}Y=\nabla _{X}Y-{\tilde {\nabla }}_{X}Y}$

является тензором. В случае если ${\displaystyle {\tilde {\nabla }}}$ определяется в карте как связность в которой тензорные поля с постоянными компонентами параллельны, кристоффели ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}}$ являются компонентами полученного тензора ${\displaystyle \Gamma }$. В этом случае отсутствие кручения у обеих связностей влечёт симметрию тензора

${\displaystyle \Gamma _{X}Y=\Gamma _{Y}X}$.

Можно выбрать другую базовую связность ${\displaystyle {\tilde {\nabla }}}$. Например, объявив параллельным произвольное поле ортонормированных реперов; так это делается в (методе подвижного репера). Поскольку в этом случае связность ${\displaystyle {\tilde {\nabla }}}$ может иметь ненулевое кручение, то вообще говоря ${\displaystyle \Gamma _{X}Y\neq \Gamma _{Y}X}$. Однако поскольку обе связности римановы, выполняется другое, не менее полезное соотношение:

${\displaystyle \langle \Gamma _{X}Y,Z\rangle +\langle Y,\Gamma _{X}Z\rangle =0}$.

Иначе говоря ${\displaystyle \Gamma }$ является 1-формой на многообразии со значениями ${\displaystyle \Gamma _{X}}$ в антисимметрических операторах на касательном пространстве.

См. также

• Геодезическая
• Символ Леви-Чивиты

Примечания

1. Математика XIX века. Том II: Геометрия. Теория аналитических функций / Под ред. Колмогорова А. Н., Юшкевича А. П.. — М.: Наука, 1981. — С. 89. — 270 с.

Литература

• Тензорное исчисление. — М.: Высшая школа, 2001. — 575 с. — .

• Победря Б. Е. Лекции по тензорному анализу. — М.: Издательство Московского университета, 1974. — 206 с.

• (Чернавский А. В.) Дифференциальная геометрия, 2 курс.