Запрос Икосаэдр перенаправляется сюда см также другие значения П
Правильный икосаэдр
Запрос «Икосаэдр» перенаправляется сюда; см. также (другие значения).
Пра́вильный икоса́эдр (от др.-греч.εἴκοσι «двадцать»; ἕδρον «сиденье», «основание») — правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник, одно из платоновых тел. Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник. Число ребер равно 30, число вершин — 12. Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм.
Икосаэдр и его описанная сфераПравильный икосаэдр, вписанный в сферу. Видно, что его вершины лежат в четырёх параллельных плоскостях, как доказал Папп Александрийский
История
Евклид в предложении 16 книги XIII «Начал» занимается построением икосаэдра, получая сначала два правильных пятиугольника, лежащих в двух параллельных плоскостях — из десяти его вершин, и затем — две оставшиеся противоположные друг другу вершины:127-131. Папп Александрийский в «Математическом собрании» занимается построением икосаэдра, вписанного в данную сферу, попутно доказывая, что двенадцать его вершин лежат в четырёх параллельных плоскостях, образуя в них четыре правильных треугольника:315-316.
Основные формулы
Площадь поверхности S, объём V правильного икосаэдра с длиной ребра a, а также радиусы вписанной и описанной сфер вычисляются по формулам:
Десять вершин правильного икосаэдра лежат в двух параллельных плоскостях, образуя в них два правильных пятиугольника, а остальные две — противоположны друг другу и лежат на двух концах диаметра описанной сферы, перпендикулярного этим плоскостям. Расстояние между симметричными парами вышеупомянутых плоскостей, образованных пятью вершинами равно радиусу круга описываемого вокруг этого пятиугольника (это правило позволяет довольно легко создать 3D-модель правильного икосаэдра).
Икосаэдральный уголУгол между двумя соседними вершинами относительно центра тела правильного икосаэдра называют икосаэдральным углом. Он равен арккотангенсу1⁄2(arcctg 1⁄2 ≈ 63,434949°), или углу между диагональю и меньшей стороной прямоугольника, у которого отношение сторон равно 1:2.
Правильный икосаэдр можно вписать в куб, при этом шесть взаимно перпендикулярных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра внутри куба, все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба.
В правильный икосаэдр может быть вписан правильный тетраэдр так, что четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами икосаэдра.
Правильный икосаэдр и правильный додекаэдр являются (двойственными многогранниками):
Правильный икосаэдр можно вписать в правильный додекаэдр, при этом вершины икосаэдра будут совмещены с центрами граней додекаэдра.
В правильный икосаэдр можно вписать правильный додекаэдр с совмещением вершин додекаэдра и центров граней икосаэдра.
Собрать модель правильного икосаэдра можно при помощи 20 равносторонних треугольников.
Невозможно собрать правильный икосаэдр из правильных тетраэдров, так как радиус сферы, описанной вокруг икосаэдра, соответственно и длина бокового ребра (от вершины до центра такой сборки) тетраэдра меньше ребра самого икосаэдра. Правильный икосаэдр можно разбить на 20 тетраэдров, соединив вершины икосаэдра с его центром, но эти тетраэдры не являются правильными — угол между их рёбрами при вершине, совпадающей с центром икосаэдра, равен икосаэдральному углу (≈63,434949°), а не 60°, как у правильного тетраэдра.
Усечённый икосаэдр — многогранник, состоящий из 12 правильных пятиугольников и 20 правильных шестиугольников. Имеет икосаэдрический тип симметрии. По сути классический футбольный мяч имеет форму не шара, а усечённого икосаэдра с выпуклыми (сферическими) гранями.
Усечённый икосаэдр может быть получен срезанием 12 вершин с образованием граней в виде правильных пятиугольников. При этом число вершин нового многогранника увеличивается в 5 раз (12×5=60), 20 треугольных граней превращаются в правильные шестиугольники (всего граней становится 20+12=32), а число рёбер возрастает до 30+12×5=90.
В мире
Икосаэдр лучше всего из всех правильных многогранников подходит для триангуляции сферы методом рекурсивного разбиения. Поскольку он содержит наибольшее среди них количество граней, искажение получающихся треугольников по отношению к правильным минимально.
Начала Евклида. Книги XI—XV. — М.—Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950. 5 июня 2014 года. — Помимо перевода на русский язык сочинения Евклида это издание в комментариях содержит перевод предложений Паппа о правильных многогранниках.
Клейн Ф. Лекции об икосаэдре и решение уравнений пятой степени / Ф. Клейн; пер. с нем. А. Л. Городенцев, А. А. Кириллов, ред. А. Н. Тюрин. — М.: Наука, 1989. — 332 с. — .
Дата публикации:
Zapros Ikosaedr perenapravlyaetsya syuda sm takzhe drugie znacheniya Pra vilnyj ikosa edr ot dr grech eἴkosi dvadcat ἕdron sidene osnovanie pravilnyj vypuklyj mnogogrannik dvadcatigrannik odno iz platonovyh tel Kazhdaya iz 20 granej predstavlyaet soboj ravnostoronnij treugolnik Chislo reber ravno 30 chislo vershin 12 Ikosaedr imeet 59 zvyozdchatyh form Pravilnyj ikosaedr vrashayushayasya model Tip pravilnyj mnogogrannikKombinatorikaElementy 20 granej 30 ryober 12 vershin X 2Grani pravilnye treugolnikiKonfiguraciya vershiny 3 3 3 3 3Dvojstvennyj mnogogrannik pravilnyj dodekaedrVershinnaya figuraRazvyortkaKlassifikaciyaOboznacheniya I sTSimvol Shlefli 3 5 angl 5 2 3Diagramma DynkinaGruppa simmetrii Ih displaystyle I h Gruppa vrasheniya I displaystyle I Kolichestvennye dannyeDlina rebra a displaystyle a Ploshad poverhnosti 5a23 displaystyle 5a 2 sqrt 3 Obyom 512 3 5 a3 displaystyle begin matrix 5 over 12 end matrix 3 sqrt 5 a 3 Dvugrannyj ugol arccos 53 138 19 displaystyle arccos left frac sqrt 5 3 right approx 138 19 circ Telesnyj ugol pri vershine 2p 5arcsin 23 displaystyle 2 pi 5 arcsin left frac 2 3 right 2 63455 displaystyle approx 2 63455 sr Mediafajly na VikiskladeIkosaedr i ego opisannaya sferaPravilnyj ikosaedr vpisannyj v sferu Vidno chto ego vershiny lezhat v chetyryoh parallelnyh ploskostyah kak dokazal Papp AleksandrijskijIstoriyaEvklid v predlozhenii 16 knigi XIII Nachal zanimaetsya postroeniem ikosaedra poluchaya snachala dva pravilnyh pyatiugolnika lezhashih v dvuh parallelnyh ploskostyah iz desyati ego vershin i zatem dve ostavshiesya protivopolozhnye drug drugu vershiny 127 131 Papp Aleksandrijskij v Matematicheskom sobranii zanimaetsya postroeniem ikosaedra vpisannogo v dannuyu sferu poputno dokazyvaya chto dvenadcat ego vershin lezhat v chetyryoh parallelnyh ploskostyah obrazuya v nih chetyre pravilnyh treugolnika 315 316 Osnovnye formulyPloshad poverhnosti S obyom V pravilnogo ikosaedra s dlinoj rebra a a takzhe radiusy vpisannoj i opisannoj sfer vychislyayutsya po formulam Ploshad S 5a23 displaystyle S 5a 2 sqrt 3 Obyom V 512 3 5 a3 displaystyle V begin matrix 5 over 12 end matrix 3 sqrt 5 a 3 Radius vpisannoj sfery r 11242 185a 143 3 5 a 0 7557a displaystyle r begin matrix 1 over 12 end matrix sqrt 42 18 sqrt 5 a begin matrix 1 over 4 sqrt 3 end matrix 3 sqrt 5 a approx 0 7557a Radius poluvpisannoj sfery raven 123 52a 0 809a displaystyle frac 1 2 sqrt frac 3 sqrt 5 2 a approx 0 809a Radius opisannoj sfery R 142 5 5 a 0 951a displaystyle R begin matrix 1 over 4 end matrix sqrt 2 5 sqrt 5 a approx 0 951a SvojstvaDvugrannyj ugol mezhdu lyubymi dvumya smezhnymi granyami pravilnogo ikosaedra raven arccos 5 3 138 189685 Vse dvenadcat vershin pravilnogo ikosaedra lezhat po tri v chetyryoh parallelnyh ploskostyah obrazuya v kazhdoj iz nih pravilnyj treugolnik Desyat vershin pravilnogo ikosaedra lezhat v dvuh parallelnyh ploskostyah obrazuya v nih dva pravilnyh pyatiugolnika a ostalnye dve protivopolozhny drug drugu i lezhat na dvuh koncah diametra opisannoj sfery perpendikulyarnogo etim ploskostyam Rasstoyanie mezhdu simmetrichnymi parami vysheupomyanutyh ploskostej obrazovannyh pyatyu vershinami ravno radiusu kruga opisyvaemogo vokrug etogo pyatiugolnika eto pravilo pozvolyaet dovolno legko sozdat 3D model pravilnogo ikosaedra Ikosaedralnyj ugolUgol mezhdu dvumya sosednimi vershinami otnositelno centra tela pravilnogo ikosaedra nazyvayut ikosaedralnym uglom On raven arkkotangensu 1 2 arcctg 1 2 63 434949 ili uglu mezhdu diagonalyu i menshej storonoj pryamougolnika u kotorogo otnoshenie storon ravno 1 2 Pravilnyj ikosaedr mozhno vpisat v kub pri etom shest vzaimno perpendikulyarnyh ryober ikosaedra budut raspolozheny sootvetstvenno na shesti granyah kuba ostalnye 24 rebra vnutri kuba vse dvenadcat vershin ikosaedra budut lezhat na shesti granyah kuba V pravilnyj ikosaedr mozhet byt vpisan pravilnyj tetraedr tak chto chetyre vershiny tetraedra budut sovmesheny s chetyrmya vershinami ikosaedra Pravilnyj ikosaedr i pravilnyj dodekaedr yavlyayutsya dvojstvennymi mnogogrannikami Pravilnyj ikosaedr mozhno vpisat v pravilnyj dodekaedr pri etom vershiny ikosaedra budut sovmesheny s centrami granej dodekaedra V pravilnyj ikosaedr mozhno vpisat pravilnyj dodekaedr s sovmesheniem vershin dodekaedra i centrov granej ikosaedra Sobrat model pravilnogo ikosaedra mozhno pri pomoshi 20 ravnostoronnih treugolnikov Nevozmozhno sobrat pravilnyj ikosaedr iz pravilnyh tetraedrov tak kak radius sfery opisannoj vokrug ikosaedra sootvetstvenno i dlina bokovogo rebra ot vershiny do centra takoj sborki tetraedra menshe rebra samogo ikosaedra Pravilnyj ikosaedr mozhno razbit na 20 tetraedrov soediniv vershiny ikosaedra s ego centrom no eti tetraedry ne yavlyayutsya pravilnymi ugol mezhdu ih ryobrami pri vershine sovpadayushej s centrom ikosaedra raven ikosaedralnomu uglu 63 434949 a ne 60 kak u pravilnogo tetraedra Usechyonnyj ikosaedrOsnovnaya statya Usechyonnyj ikosaedr Molekula fullerena C60 usechyonnyj ikosaedr Usechyonnyj ikosaedr mnogogrannik sostoyashij iz 12 pravilnyh pyatiugolnikov i 20 pravilnyh shestiugolnikov Imeet ikosaedricheskij tip simmetrii Po suti klassicheskij futbolnyj myach imeet formu ne shara a usechyonnogo ikosaedra s vypuklymi sfericheskimi granyami Usechyonnyj ikosaedr mozhet byt poluchen srezaniem 12 vershin s obrazovaniem granej v vide pravilnyh pyatiugolnikov Pri etom chislo vershin novogo mnogogrannika uvelichivaetsya v 5 raz 12 5 60 20 treugolnyh granej prevrashayutsya v pravilnye shestiugolniki vsego granej stanovitsya 20 12 32 a chislo ryober vozrastaet do 30 12 5 90 V mireIkosaedr luchshe vsego iz vseh pravilnyh mnogogrannikov podhodit dlya triangulyacii sfery metodom rekursivnogo razbieniya Poskolku on soderzhit naibolshee sredi nih kolichestvo granej iskazhenie poluchayushihsya treugolnikov po otnosheniyu k pravilnym minimalno Ikosaedr primenyaetsya kak igralnaya kost v nastolnyh rolevyh igrah i oboznachaetsya pri etom d20 dice kosti Tela v vide ikosaedra Kapsidy mnogih virusov naprimer bakteriofagi mimivirus Sm takzheZvyozdchatyj mnogogrannikPrimechaniyaSelivanov D F Telo geometricheskoe Enciklopedicheskij slovar Brokgauza i Efrona v 86 t 82 t i 4 dop SPb 1890 1907 Euclid s Elements Book XIII Proposition 16 neopr Data obrasheniya 3 sentyabrya 2014 30 avgusta 2014 goda Nachala Evklida Knigi XI XV M L Gosudarstvennoe izdatelstvo tehniko teoreticheskoj literatury 1950 5 iyunya 2014 goda Pomimo perevoda na russkij yazyk sochineniya Evklida eto izdanie v kommentariyah soderzhit perevod predlozhenij Pappa o pravilnyh mnogogrannikah Originalnyj tekst na drevnegrecheskom yazyke s parallelnym perevodom na latinskij yazyk Pappi Alexandrini Collectionis 1876 Vol I P 150 157 Dokazatelstvo privedeno v Cobb John W The Icosahedron angl maj 2007 Data obrasheniya 3 sentyabrya 2014 4 maya 2016 goda OpenGL Red Book Ch 2 8 yanvarya 2015 goda LiteraturaKlejn F Lekcii ob ikosaedre i reshenie uravnenij pyatoj stepeni F Klejn per s nem A L Gorodencev A A Kirillov red A N Tyurin M Nauka 1989 332 s ISBN 5020141976, Википедия, чтение, книга, библиотека, поиск, нажмите, истории, книги, статьи, wikipedia, учить, информация, история, скачать, скачать бесплатно, mp3, видео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, картинка, музыка, песня, фильм, игра, игры, мобильный, телефон, Android, iOS, apple, мобильный телефон, Samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Сеть, компьютер